部分双曲系统的持续传递性

Following the research of Stable Ergodicity Conjecture proposed by Pugh and Shub, the study of partially hyperbolic systems has became the core problem of the field of differentiable dynamical systems in recent years. On the other hand, robust transitivity is an important concept for the study of dissipative dynamical systems. This project is to study the robust transitivity of partially hyperbolic systems in different C^r-topology. We will focus on some classical partially hyperbolic systems, and study whether they are C^r-robustly transitive. For instance, we will study the time-one maps of geodesic flows on surfaces with constant negative curvature; the algebraic partially hyperbolic automorphisms on 3-dimensional nilmanifolds; and the partially hyperbolic diffeomorphisms which are isotopic to linear Anosov automorphisms on tori; etc. In particular, we already knew that a stably ergodic system may not be C^1-robustly transitive in the category of dissipative systems. However, whether such systems are C^2 robustly transitive, is an important open question. This is a main interest of our project. The main idea for our study is to use the geometric and topological properties of invariant foliations for partially hyperbolic systems, to determine whether these partially hyperbolic systems are C^r-robustly transitive or not.

随着九十年代中期Pugh-Shub对保守的部分双曲系统稳定遍历猜测的提出，近年来关于一般部分双曲系统动力学性质的研究成为国际上微分动力系统领域研究的核心问题，而持续传递性则一直是耗散系统研究中相应的重要概念。本项目主要研究一般部分双曲系统在不同阶的光滑拓扑(即r值不同的C^r-拓扑)下的持续传递性。我们关注的问题包括某些经典的部分双曲系统的C^r-持续传递性，例如常负曲率曲面上的测地流的时间一映射，三维齐性流形上的代数部分双曲自同构，以及环面上同痕于Anosov线性自同构的部分双曲系统等。特别是，我们已经知道，一个稳定遍历系统在耗散系统的范畴下看不一定是C^1-持续传递的，但是否一定是C^2-持续传递的，则是一个重要的未知问题。这是本项目的一个主要关注点。我们的核心想法是利用部分双曲系统所拥有的不变叶状结构的几何与拓扑性质，去研究该系统是否具有持续传递性。

本项目旨在研究部分双曲系统的动力学性质。我们重点研究了部分双曲系统的持续传递性、稳定遍历性、中心可积性等一系列动力学性质。在项目研究中，我们重点研究了三维环面上的部分双曲DA系统、二维环带上的Kan映射等经典且重要部分双曲系统。在研究中，我们综合运用了微分动力系统的不变流形理论、扰动理论、光滑遍历论、Livsic型定理等工具。在本项目的资助下，我们取得了如下成果：.1. 我们证明了三维环面上保守的部分双曲DA系统一定是遍历的，从而在三维环面上解决了ICM报告人F.R.Hertz等提出的遍历性猜测。更进一步的，我们证明了三维环面上非可达的部分双曲DA系统一定是Anosov的。这一系列工作的关键在于我们证明了三维DA系统的稳定与不稳定丛是联合可积的当且仅当其在中心丛上有指数刚性。.2. 我们证明了二维环带上的Kan映射在C2-拓扑下是持续拓扑混合的。这自然蕴含着该类系统是C2-持续传递的。我们利用中心丛上一维映射的一些列技巧，为证明部分双曲系统的传递性提供了新的机制。.3. 我们证明了二维环面上特别的绝对部分双曲自同态的中心丛是唯一可积的，并给出了非绝对部分双曲自同态中心丛不可积的例子。.4. 我们对于含奇点的星号向量场证明了著名数学家A.Katok提出的中间熵猜测，即对于任意含奇点的星号向量场以及任意对于零小于其拓扑熵的常数，都有该向量场的一个遍历测度测度熵等于该常数。