部分双曲系统中熵的若干性质

Differential dynamical system is to study the limit behavior of a given system and the change of orbit structure under small perturbations. Topological entropy, one of the most important topological invariants, characterizes the complexity of orbit structure. A natural question to ask is about the continuity of topological entropy when the system is perturbed. For instance, in the case of a hyerbolic diffeomorphism, it is known (thanks to the structural stablility property) that the topological entropy is locally constant. Partial hyperbolicity is a natural extension of hyerbolicity. It is conjectured and widely believed that the topological entropy is continuous for partially hyerbolic diffeomorphisms with one-dimensional center bundles. We have successfully obtained several interesing results. We propose to continue our investigation and extend our results to the general cases of partially hyperbolic systems with one dimensional center bundles. On the other hand, entropy, dimensions, Lyapunov exponents and geometric expansions on leaves of foliations are closedly related. We have developed some technical tools and obtained some interesting results and applications. We propose to further explore their relationships and will focus on unstable and (stable) foliations in partially hyperbolic dynamical systems. We will define the measure entropy and the dimension of the measure on unstable and stable foliations. We then study the relationships between these important quantities. Finally, we would like to explore the relationships of these quantities on foliations with those defined on the whole manifold. Our main tools include Pesin theory and Young and Ledrappier's work.

微分动力系统主要研究系统长时间的极限行为及小扰动下可能发生的轨道结构变化。拓扑熵是反应系统轨道结构复杂性的重要不变量。很自然的一个问题就是拓扑熵在系统变化下的连续性。双曲系统，由系统的结构稳定性，拓扑熵局部常值。部分双曲系统是双曲系统的一个自然延伸。中心一维的部分双曲系统中拓扑熵一直被猜测是连续的。申请人在该问题上取得了一系列结果，本项目将对该问题做进一步研究。另一方面，熵、Lyapunov指数、维数及体积增长, 这些系统中的重要不变量密切相关。申请人前期工作中，探索了一些新的思路和方法，得到了一些有趣的结果和应用。本项目中，我们将试图将这些结果推广至一般不变测度。特别地，在部分双曲系统中，定义不变流形叶片的熵和叶片上测度的维数，对熵、Lyapunov指数、维数和其它相关量进行进一步的研究。主要工具为Pesin理论和Ledrappier、Young的工作。

部分双曲系统是双曲系统的一个自然延伸。一个自然的问题就是研究部分双曲系统中由双曲部分产生的遍历性质。熵是反映系统结构复杂性的重要不变量。熵由系统的扩张部分决定。例如著名的Ledrappier、Young熵公式指出：对任何一个不变测度，根据Lyapunov指数，从测度熵的角度给出了对应叶片上系统的复杂性的测量。在项目执行人和合作者的前期工作中，考虑了不稳定流形的体积增长，对不稳定流形的复杂性探索了一些新的思路和方法，得到了一些有趣的结果和应用。Lyapunov指数、测度熵、拓扑熵及体积增长率, 这些系统中的重要不变量是密切相关的。本项目中，针对部分双曲系统，我们特别地定义了不稳定流形的测度熵和不稳定流形的拓扑熵，我们证明了这种定义下的不稳定流形的测度熵，具有仿射性和上半连续性，并且具有对应的Shannon-McMillan-Breiman定理。对不稳定流形的拓扑熵我们证明了它等价于不稳定流形的体积增长率。我们还建立了它和不稳定流形测度熵对应的变分原理。这部分研究结果，对将Ledrappier、Young类型的结果直接应用到部分双曲系统中起到重要作用。不稳定流形的测度熵和拓扑熵之间的变分原理使得将遍历论中经典的Thermodynamic formalism方法广泛应用于部分双曲系统成为可能。本项目的研究内容将对进一步挖掘熵的本质，及了解部分双曲系统的轨道结构和系统复杂性起到积极的推动作用。