非线性奇异椭圆方程几个问题的研究

The project investigate quasilinear singular elliptic equations related to the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities. For various parameters and different domains, using varational method, divided space theory, combining a special class of approximating functions, we show the existence and non-existence, uniqueness and multiplicity of solutions, eigenvalue problems. Biharmonic equation can describe the static form change of beam or the sport of rigid body. Under different conditions, such as the sub-critical and critical condition, we use Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities and variational method to get some results about the existence of its solutions.

本项目首先研究与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式密切相关的拟线性奇异椭圆方程。在不同的参数条件和不同空间区域中，我们利用变分方法、空间划分理论、函数逼近等方法研究方程解的存在性、非存在性，唯一性和多解性，解的性质，以及方程的特征值问题。同时，我们讨论了可以描述静态形式的光束变化或刚体运动的双调和方程，在次临界和临界等不同的条件下，运用Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式和变分原理等方法，得到方程解的存在性的相关结果。

本项目研究了与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式相关的奇异椭圆方程解的性态，基本完成了项目的拟定目标。得到的研究结果具体如下：（1）利用对称的山路引理，研究不满足A-R条件的双调和方程无穷多解的存在性。（2）研究临界双调和方程非平凡解的存在性。（3）研究奇异方程在全空间中解的存在性问题，改进了已知文献中一些关于非线性项的约束条件。（4）考虑偏微分方程理论在经济中的应用问题。