若干非线性椭圆和抛物方程的奇异性研究

本项目研究薄膜问题、液滴的扩散、MEMS、空间生态学模型中的一些重要的非线性椭圆型偏微分方程和相应的抛物方程。研究内容包括含有奇异项的方程、超临界指数方程、含有奇异边值的定解问题、反应－对流－扩散方程。对这些方程解的结构、奇性及渐近行为进行深入的讨论。重点研究这些方程（组）解的奇异性和凝聚现象，解的几何性质，研究区域的几何与拓扑性质对解的奇点集、零点集、凝聚集的影响。利用奇摄动变分理论和Blow up分析等研究、处理这些问题，有利于发现一些数学问题之间的联系和共性，有利于研究工作形成系统，同时能丰富非线性偏微分方程（组）的理论，发展新的方法，解决新的问题，并且对流体力学、材料科学、生态学中的一些的非线性现象提供深刻的了解。

本项目主要研究了一些非线性椭圆偏微分方程（组）与变分问题解的各种奇异形态和凝聚现象，特别是研究源于流体力学中的薄膜问题和微电子弹性薄片形变理论、空间生态学模型中的非线性偏微分方程(组), 侧重研究二阶的此类方程以及相关联的一类非线性偏微分方程解的结构及其奇异性分析。其中包括:以Thin films和MEMS 为背景的一类具有奇异非线性项的半线性椭圆、抛物及含有双调和算子的方程的研究：特别是奇异极端值的估计和相应的抛物方程解的quenching time和quenching 集合的大小估计。.本项目的研究基本上是根据国内外研究新发展及计划书的内容进行。未做大的调整与变动。但在对液滴在固体上的扩散数学理论和资源的空间分布如何影响物种的生存等计划书中所提及的研究还不够。.研究主要成果包括：.1．研究了一般的MEMS型方程，获得奇异极端值的估计和相应的抛物方程解的quenching 时间和解在quenching 集合附近的渐近性态。这些结果不但将先前的已知结论推广到一般情形，而且证明也大为简化[1]。另外我们也得到了带对流项的非特征值问题极端解在低维情形下的正则性结果[6]。.2.对含有负指标非线性项的半线性椭圆方程，研究了带有权函数的Dirichlet边值问题的解的结构和性质：证明存在一个临界值，可以用来判断解的分枝是否具有无穷多个旋转点以及研究解的 Morse 指数[4]。.3. 对 $SU(3)$ Toda 方程组解的非退化性，即解所对应的线性化算子的核空间是一个8维空间。Toda方程组在物理和几何中的一些问题中有许多应用，例如Chern-Simons 理论。这个结果是了解该方程组解的结构的一个基本结果，特别用于研究方程组解的集中现象，解的构造[2]。.4．对含临界指数的多重调和方程获得了解的存在性结果，这些结果涉及到临界维数问题，另外也得到了类似于Coron著名的非平凡拓扑区域上解的存在性结果[3]。