测度刚性及其在丢番图逼近中的应用

We plan to study the invariant measure rigidity of higher rank dynamical systems and its applications in Diophantine approximation. The concrete content contains: (1) the rigidity of invariant measures with 0 entropy for the higher rank action of torus endmorphisms; (2) the rigidity of invariant measures with 0 entropy for the diagonal action on homogeneous spaces; (3) the equidistribition properties of measures for diagonal actions and its applications in the improvements of Dirichlet's Theorem; (4) nonuniform hyperbolicity and measure rigidity for nilpotent group actions. Through the investigation of the above problems, we hope to develop the ergodic theory of general group actions, and to explore the value of solving problems in number theory by the dynamical system method.

研究高阶动力系统不变测度的刚性性质以及这些性质在丢番图逼近中的应用。具体内容包括：（1）环面自同态高阶作用下零熵不变测度的刚性；（2）齐性空间对角作用零熵不变测度的刚性及其在Littlewood猜想中的应用；（3）对角作用下测度的等度分布性质及其在Dirichlet定理改进问题中的应用；（4）幂零群作用下的非一致双曲理论及不变测度的刚性性质。 本课题拟通过以上诸问题的研究，丰富和发展一般群作用下遍历理论的理论体系，进一步发掘动力系统方法在解决数论问题中的应用价值。

本项目主要研究有限生成交换或幂零群作用的拓扑刚性、微分刚性、测度刚性等问题，以及刚性性质在丢番图逼近中的应用。主要获得以下结果：.1. 建立了曲线群或半群作用的拓扑刚性结果：对直线上紧凑拓扑传递交换群作用进行了完全的共轭分类；证明了简单闭曲线是唯一的、容许由局部同胚生成的敏感交换半群作用的、含自由弧的Peano连续统。.2. 对离散Heisenberg群（最简单的非交换幂零群）在环面上的线性作用建立了局部微分刚性定理，并证明了中心元的作用一定具有０－拓扑熵。.3. 利用测度刚性，证明了圆周上×n-映射下有非稠密轨道而在测地流下具有稠密轨道的点（将圆周等同于模曲面的Horocycle轨道）具有全Hausdorff维数，对应的数论解释为×n－映射下具有非稠密轨道的可好逼近数具有全Hausdorff维数；环面上类似的结果也被建立。.结果１的意义在于仅在连续条件下对一些曲线上交换群作用建立了拓扑刚性定理，而结果２的意义在于对一类非交换群线性作用建立了局部微分刚性定理。这为今后研究更复杂空间上交换群作用的拓扑刚性以及更复杂非交换群线性作用的微分刚性提供了思路。