离散群作用一维动力系统的遍历性和刚性问题

We plan to study the properties such as ergodicity, globally topological rigidity, and Zimmer's rigidity for discrete group actions on one dimensional spaces, and study the algebraic structures of infinite groups by dynamical methods. The concrete content contains: (1)the globally topological rigidity problems for group actions on the line or on the circle; (2)the ergodicity for smooth minimal group actions on the circle; (3)the Zimmer's rigidity for higher rank lattice actions on one dimensional spaces; (4)the amenability of the Thompson's group, and the Ghys-Margulis alternative theorem for homeomorphism groups of curves. Through the investigation of the above problems, we hope to develop the theory of one dimensional dynamical systems of group actions, and to explore the value of studying the structures of discrete groups by dynamical methods.

研究离散群在一维拓扑空间上作用的遍历性、整体拓扑刚性、Zimmer 刚性等性质，并利用动力系统方法研究无限群的代数结构。具体研究内容包括：(1) 群在直线或圆周上作用的整体拓扑刚性问题；(2) 群在圆周上光滑极小作用的遍历性问题；(3) 高秩单李群格子群在一维空间上作用的Zimmer刚性问题；(4) Thompson 群的顺从性问题以及曲线同胚群的 “Ghys-Margulis二择一原理”。本课题拟通过以上问题的研究丰富和发展群作用一维动力系统的理论体系，进一步发掘动力系统方法在离散群结构研究中的应用价值。

刚性问题是现代动力系统领域的研究热点之一，在数论和数学物理等领域有着深刻的应用。该项目主要研究离散群在连续统上作用的拓扑刚性和测度刚性问题，并在国际核心期刊上正式发表论文6篇，接受论文3篇。.主要成果如下：.1. 对圆周上Z^d紧凑传递、几乎极小作用进行了完全的共轭分类。这是整体拓扑刚性的结果，拓展了圆周极小保向同胚的庞加莱分类定理。.2. 对唯一弧连通曲线上顺从群作用证明了周期轨的存在性。这在更一般的条件下，回答了拓扑学家Bing的一个问题。.3. 对Dendrite上顺从群作用证明了极小集或为康托集或为有限轨，并且限制作用是等度连续的。这回答了动力系统专家Glasner的一个问题。.4. 对完全正则曲线建立了Tits二择性定理，并从测度角度对完全正则曲线进行了刻画。.5. 对环面上一类交换半群作用建立了测度刚性定理并提出了强独立矩阵的概念。.以上结果加深了对作用群代数结构，相空间拓扑结构，和动力学性质三者之间关系的理解，丰富了群作用一维动力系统的理论体.系，进一步发掘了动力系统方法在离散群结构研究中的应用价值。