具有不光滑孤子解非线性色散波方程的奇性解和全局解

In the study of shallow water equations, the equations with peakons have always attracted the attention of mathematicians and physicists. Since the Camassa-Holm equation was discovered, there appeared various generalized Camassa-Holm equations with peakons. In this project, we are mainly concerned with the blow-up and global solutions to several generalized Camassa-Holm equations: the existence of global strong and weak solutions, the existence and uniqueness of global conservative solutions and global dissipative solutions in periodic case and improved blow-up results of strong solutions to the generalized 2-component Camassa-Holm equation, the μ-version Camassa-Holm equation with cubic nonlinearity and the μ-version Fokas equation all of which have been constructed by us; renewed blow-up conditions of strong solutions, the existence and uniqueness of global conservative solutions and global dissipative solutions to μ-Camassa-Holm equation and μ-Degasperis-Procesi equation. These properties of solutions to the generalized Camassa-Holm equations will provide the theoretical direction for studying the shallow water waves with strong interaction. Moreover, the research with regard to the properties of peakons to these new models will play a certain role to the related physical phenomena.

具有尖峰孤子解的方程一直是浅水波方程研究中数学家和物理学家非常关注的，而自从Camassa-Holm方程被发现以来，具有尖峰孤子解的推广Camassa-Holm型方程层出不穷。本项目主要研究几个推广Camassa-Holm方程的爆破解和整体解，即我们构造的三个模型：推广两分量Camassa-Holm方程，μ形式的带有三次非线性项Camassa-Holm方程以及μ形式Fokas方程，它们全局强解和全局弱解的存在性，周期情形下全局守恒解和全局耗散解的存在性和唯一性，改进的爆破结果；μ-Camassa-Holm方程和μ-Degasperis-Procesi方程更新的爆破充分条件，全局守恒解和全局耗散解的存在性和唯一性。这些推广方程解的性质对于研究具有强非线性作用的浅水波提供一定的理论指导，而这些新模型孤子解的性质对研究相关的物理现象具有一定的指导作用。

本项目的主要工作是围绕与Camassa-Holm方程和Novikov方程有密切关系的一些系统和方程展开的。首先，对一个周期情形下带有三次非线性项和色散项的修正Camassa-Holm方程，改进了之前适定性结果，给出了该方程Cauchy问题解的最大存在时间的下界以及解析性 ；其次，证明了周期情形下带有三次非线性项的修正Camassa-Holm方程解的不一致连续依赖性；对一个两分量Novikov方程，在Sobolev空间中讨论了解对初值的不一致连续依赖性，在周期情形下Besov空间中再次研究了解对初值的不一致连续依赖性，另外对一个具有更高阶的Camassa-Holm方程，讨论了解对初值的连续依赖性和不一致连续依赖性；作为Novikov方程伸缩极限的退化Novikov方程是完全可积的并且具有几何意义，在周期情形下我们讨论了该方程的适定性，强解的爆破准则和爆破的充分条件，该方程的尖峰孤子解的存在性以及相应的几何解释；对另外一个新的两分量Novikov方程，我们在Besov空间中讨论了强解的适定性和爆破准则，以及单尖峰和多尖峰孤子解的存在性；对于一个新的具有更高非线性性的推广Camassa-Holm方程，我们讨论了它强解的局部适定性，强解的爆破准则以及强解爆破的充分条件；对强解的长时间行为，我们分别讨论了一个3+1维Kadomtsev–Petviashvili II 方程解的惟一连续性和一个推广的Zakharov-Kuznetsov方程解的衰减性。