几类非线性色散波方程解的性质研究

In project, we mainly study several nonlinear dispersive wave equations with higher-order derivative, higher-order nonlinearities and multi-component, respectively, which come from fluid mechanics, lattice dynamics, elastic mechanics and other science. The local well-posedness of solutions for the Cauchy problem, initial boundary problem and periodic problem in different spaces(especially in critical Besov space) are studied. Under some assuptions, the global solutions, blow-up scenario and the persistence properties in weighted spaces for the solutions are given. Then we consider the weak solutions and peakon solutions. Finally, we show the long time dynamics behavior of solutions by numerical method. We hope that this project can enrich and develop the theorem of nonlinear dispersive wave equations, and promote the development of the related applied sciences.

本项目主要研究来源于流体力学、晶格动力学、弹性力学等实际领域中出现的几类分别具有高阶导数、高次非线性行和多个分支的色散波方程。首先探讨这几类方程在不同函数空间(特别是临界Besov)中的Cauchy问题、初边值问题以及周期问题解的局部适定性；其次研究方程的解在适当假设条件下的全局存在性、爆破现象以及在加权Sobolev空间中的持续性；再次考虑色散波方程的弱解和Peakon解；最后通过数值方法来探究方程解的长时间动力学行为。希望本课题的研究能丰富和发展非线性色散波方程理论，并对相关科学技术领域的发展起促进作用。

本项目主要研究与Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程有密切关系的几类具有wave breaking现象的非线性色散波方程。（1）提出了一个包含b-equation和Novikov的高次非线性的色散波方程，得到该方程解在Besov空间和临界Besov空间中的局部适定性，强解的整体存在性和爆破，解的爆破机制和渐近行为，尖峰解的存在性；（2）研究由Constantin和Lannes建立的描述水波自由表面演化的中度振幅的非线性浅水波模型，给出了强解的局部适定性和弱解的存在唯一性，进一步研究了解在有限时刻发生wave breaking后的性态。（3）研究了由Cotter, Holm, Ivanov和Percival推导出的具有waltzing peakons 和 compacton pairs的交错耦合Camassa-Holm方程，得到了该浅水波方程Cauchy问题的强解在Sobolev空间中的局部适定性、强解的整体存在性和奇异性，Gevrey正则性和解析解，进一步研究了解关于初值的一致连续依赖性和Hölder连续性；（4）研究由Escher等用几何方法推导出的一类具有分数阶inertia算子的双分量高次非线性Camassa-Holm方程解在Besov空间中的局部适定性以及在加权Lp空间中的持续性； （5）对其他几类具有更高次非线性的色散波方程进行了定性分析。项目负责人已在《J. Differential Equations》、《Monatsh. Math.》、《Discrete Contin. Dyn. Syst., A》、《J. Math. Anal. Appl.》、《Nonlinear Anal., RWA》及《J. Evol. Equ.》等国际SCI检索刊物上发表学术论文10余篇，我们完成了项目的预定研究任务，并在部分研究内容上做了适当的延伸和扩展。