三类常数项恒等式的数学机械化研究

常数项恒等式是组合数学研究中的重要分支，许多著名的学者在这个领域进行过系统的研究，其应用广泛，至今仍是数学领域中的热点课题。在常数项恒等式中引入机械化算法是常数项恒等式研究领域里一个新的研究方向，也十分符合当前研究趋势。国家科技部在"21世纪科学发展趋势"的报告中将数学机械化列为重大科学问题，国家自然科学基金委员会和中国科学院都将数学机械化列为了优先发展的研究领域。.本项目旨在从组合构造和算法化的角度来研究Dyson型等式、Morris型等式、Macdonald猜想以及它们的q模拟等式，力图将这几类常数项恒等式的证明问题化为判断不等式、求解线性方程组等计算机可以处理的问题，最终实现证明的机械化。同时，我们将建立常数项恒等式与积分等式之间的自动变换算法，以促进这两个领域的交叉研究。

本项目所研究的Dyson、Morris以及Macdonald常数项等式是组合数学里非常重要的研究课题。包括菲尔茨奖获得者、美国科学院院士在内的多位杰出数学家都在这一领域里做过研究。本项目主要取得了以下三个成果：一是建立了Morris等式与和集之间的联系，用简洁的方法证明了侯-孙定理。从侯-孙定理出发，考虑了更一般的两种情形，并发展了一种新方法来得到常数项等式。二是编写了一般形式的有理函数的留数算法。利用这一算法，证实了加拿大数学家Alain Goupil关于3D多方块牌的猜测，同时也能用计算机很快解决R. Pemantle和M. Wilson教授在SIAM Review上提出的二十个组合问题。三是给出了广义q-Morris等式的一个初等证明，并对该等式进行了推广。