整环上的几乎整闭性研究及相关计算问题

In this project, we study the structure of integral domains of almost integrality and related arithmetical problems, combining star operation theory and methods on multiplicative ideal theory, class group and class number theory on algebraic number theory and algebraic K-theory with non-unique factorization theory. This project includes: research of weak Bass-Quillen problems on integral domains of almost integrality; research of divisor theory of weak form and purely multiplicative operation properties on integral domains of almost integrality; discussion of class group theory and of arithmetical problems of class number; research of non-unique factorization theory and invariants on integral domains. Finally, we expect to give an affirmative answer to an open question raised by Geroldinger et al. about half-factoriality.

本项研究通过把乘法理想论中的星型算子理论和方法，代数数论与代数K-理论中关于类群和类数理论计算方法以及非唯一分解理论研究结合起来，系统研究具有几乎整闭性的整环的结构和相关计算问题。本项研究的内容包括：具有几乎整闭性的整环上弱形式的Bass-Quilen问题研究；具有几乎整闭性的整环上的弱意义下的除子理论与纯乘法运算特性研究；具有几乎整闭性的整环上的类群理论与类数的计算问题讨论；非唯一分解理论与整环上的不变量研究；以期解决Geroldinger等人提出的关于半分解的一个公开问题。

本项研究围绕整环的几乎整闭性问题和Bass-Quillen问题为研究中心, 利用星型算子理论与同调理论相结合的方法，主要研究了：（1）交换环上的U-内射模，拓展的模的内射性研究；（2）建立了UP-整环，构造了新的星型算子，即u-算子，引进了u-正合列的概念，刻画了UP-整环的基本同调特征；（3）建立了UP-整环上的u-平坦模，给出了一个模是u-平坦模的充分必要条件，并研究了u-平坦模的局部化问题；（4）研究了UP-整环上的u-有限型模和u-有限表现型模，促进了有限型模和有限表现型模的发展。