有限群整群环的正规化子问题

近年来，有限群整群环的正规化子问题已成为整群环理论中研究的热点问题之一。特别在2001年Hertweck建立了正规化子问题与整群环的同构问题之间的联系，并由此成功构造了由Higman提出的困扰了人们六十多年的同构问题的一个反例，更刺激了人们对正规化子问题的研究。正规化子问题不但与整群环的同构问题有密切的联系，而且还与整群环的的正规化自同构问题紧密相关。另外，正规化子问题还与有限群的一些特殊自同构（例如Coleman自同构、类保持自同构及C-自同构等）的研究有直接的关系，而这些自同构自身也具有重要理论意义。本课题试图整合有限群理论和环理论、以有限群的表示理论和同调理论为工具，对整群环的正规化子问题作进一步的探讨与研究，从而为解决或部分解决整群环的相关问题和猜想创造一定的条件，也为研究有限群的自同构群提供一个全新的视角。

有限群整群环的正规化子问题不但与整群环的同构问题有密切的联系，而且还与整群环的Zassenhaus猜想以及整群环的其它问题紧密相联。注意到Hertweck构造的正规化子问题反例是一个亚阿贝尔群，我们知道任意阿贝尔群具有正规化子性质。可见Hertweck的反例说明具有正规化子性质的有限群的扩张未必有正规化子性质。自然地要问在什么条件下具有正规化子性质的有限群的扩张仍具有正规化子性质。近年来，有限群整群环的正规化子问题已成为整群环理论中研究的热点问题之一。在本课题中，我们深入研究以下问题：(1) 有限群的一些特殊自同构对整群环的正规化子问题研究的影响; (2)有限群的特殊扩张以及一般扩张的正规化子问题; (3)具有特殊Sylow 2-子群的有限群的正规化子问题; (4)研究成果也促进了有限群表示及群的其它问题的研究。此外，在该项目的支持下，我们在本研究领域重要期刊发表论文25篇，指导硕士研究生14人。