p-进伽罗华表示理论中的若干论题

The presented project aims at some constructions in the theory of p-adic Galois representations and some related applications. We will construct disconnected period rings and their associated Dieudonne functors for Galois representations of a p-adic base field of perfect residue field with coefficients in a general p-adic local field， investigate basic properties of these constructions, including algebraic characterizations of semi-stable representations, their integral structures, and the existence of generalized strongly divisible lattices, which would lead to generalizations of known results in the case of Qp-coefficients. We intend to further extend these results to p-adic base fields with non-perfect residue fields, construct sheaves of period rings and sheafified Dieudonne functors, study the integral p-adic Hodge theory in this situation, and provide tools for the research of comparison isomorphisms between p-adic cohomology theories on p-adic algebraic varieties. In the presented project we will employ algebraic and analytic methods based on geometric backgrounds to study the structural properties of p-adic Galois representations and its connection to p-adic cohomology theories, and popularize new results in p-adic representations and p-adic Hodge theory through academic communication and collaboration at international level.

本项目主要研究 p-进伽罗华表示理论中的若干构造和及其应用：对于具有完全剩余类域的p-进基域的系数为一般p-进局部域的伽罗华表示，构造相应的不连通周期环及其迪厄多内函子，研究半稳定表示的代数刻画、整性结构、和广义强可除整格的存在性，从而推广在Qp系数情形的一些已知结果。本项目还试图将这些结果进一步推广到不完全剩余类域的情形，构造相应的周期环层和层化迪厄多内函子，并研究这一情形下的整性p-进霍奇理论，为p-进代数簇上的p-进上同调理论之间的比较同构定理的研究提供工具。本项目将通过代数和分析的方法，结合几何背景，深入研究p-进伽罗华表示的结构性质以及它和p-进上同调理论的联系，并通过国内外学术交流，推广p-进伽罗华表示和p-进霍奇理论的新成果。

本项目主要研究了志村簇的算术几何中的Andre-Oort猜想和Coleman-Oort猜想。..志村簇是在代数几何、算术几何和数论中起重要作用的几何结构。志村簇中的特殊子簇相当于算术几何意义下的全测地子流形，对这类特殊子簇的几何刻画对于代数几何和数论都有重要的应用。..Andre-Oort猜想断言志村簇中任意特殊子簇序列的Zariski闭包总可表为特殊子簇的有限并集。我们对一般的混合志村簇证明了特殊子簇的有界序列的等分布性质，由此推导出Andre-Oort猜想的一类主要情形。我们还通过推广Manin-Mumford猜想建立了久贺簇上Andre-Oort猜想的一个新情形。..Coleman-Oort猜想断言当亏格充分大时，Siegel模空间的Torelli轨迹中不包含维数大于零的特殊子簇。我们将曲面纤维化理论中的肖刚斜率不等式和Hermite对称空间嵌入的佐武分类定理结合起来，证明该猜想对一大类由酉群和正交群定义的志村簇成立，并通过佐武分类定理中的表示论参数给出了判别该猜想成立的不等式。我们还研究了Coleman-Oort猜想在超椭圆Torelli轨迹时的类比，证明了该类比在亏格大于等于8时成立。