微分、差分方程的Galois理论及求liouvillian解的算法研究

求微分以及差分方程的liouvillian解是符号计算领域的主要研究内容之一。与代数方程的根式求解类似，微分以及差分方程是否存在liouvillian解与它们的Galois理论有密切的关系；而微分以及差分多项式的分解则是提高求解效率的重要手段之一。本项目利用微分以及差分方程的代数理论，研究微分、差分方程以及微分-差分混合方程的liouvillian解和非线性微分以及差分多项式的分解问题。在理论上，我们计划将有限维的线性微分、差分方程的Galois理论推广到更一般的微分-差分混合方程（解空间可能为无限维），同时还将研究非线性微分以及差分多项式的极大分解问题。在算法上，提高已有的求liouvillian解的算法以及将高阶方程分解成低阶方程的分解算法的效率；对于新的方程设计新的求解算法。在应用上，将所得研究结果应用于组合数学以及控制理论。

本项目主要研究线性微分差分方程的符号求解算法以及它们的分解算法。在符号求解算法方面，超指数-超几何函数解是求 liouvillian 函数解的基础，而超指数-超几何函数的结构则是设计求解算法的关键。 在项目的支持下，我们完全解决了超指数-超几何函数的结构问题并将其应用于组合中重要算法—Zeilberger 算法的终止性判定问题。 线性微分方程的分解是降低求解线性微分方程的计算复杂度的重要方法之一， 同时也是很多线性微分方程符号求解算法的基础。 在项目的支持下，项目组成员解决了系数为微分多项式的线性微分算子的分解问题， 该算法是通常线性微分算子分解算法的一种推广。在其他方面，项目组成员还在区间多项式实区间零点个数、多变元多项式的分解以及 Wronskian 行列式在微分差分域中的推广方面进行了研究并得到相应结果。. 在本项目的资助下，项目组成员总计发表论文 6 篇，其中 EI 收录 2 篇； SCI 收录 2 篇， 国内核心期刊 2 篇。