差分微分及函数方程解的研究

In this research program, we are going to deal with the following problems of complex analysis: 1. R. Brück conjecture and the related problems in the researches of solutions to complex differential equations; 2. The problems of uniqueness of meromorphic functions on 1CM+3IM=4CM ? 3. The existence of meromorphic solutions of Fermat type functional equations and other related functional equations; 4. The properties of value distribution of meromorphic solutions to difference equations and difference polynomials. These researches, much focused by mathematicians all over the world, are very difficult to be solved by using the Nevanlinna's theory. This program aims to study those problems by investigating the complex differential and difference equations and the related topics jointly. We are going to exploit new methods and consider the jointed researches of the different research branch of complex analysis. This research program will play a significant role in the development of complex analysis and its applications.

项目主要研究复分析中涉及亚纯函数理论的若干问题: 第一、研究Brück猜想及其相关的线性和非线性微分方程整体解；第二、研究亚纯函数唯一性理论中著名的1CM+3IM是否等于4CM的问题；第三、研究费尔马型函数方程及其相关函数方程的亚纯函数解的存在性问题；第四、研究差分方程的亚纯解及其差分多项式解的值分布性质。这些问题一直受到国内外学者的关注和重视，是函数值分布和唯一性理论研究的重要内容和发展动力，但当前仅凭亚纯函数的Nevanlinna理论很难研究解决它们。本项目致力于将具有共同理论基础的复微分、差分方程以及正规族等数学分支与上述问题结合起来研究，把函数公共值问题转化成复微分方程解的增长及渐近性质、对数导数以及零点和极点的分布来研究，开拓新的研究方法。这对复分析的发展、探索和促进不同数学分支间的交叉都很有意义。

本项目主要研究了复分析中涉及亚纯函数理论的的下列问题: 第一、研究Brück猜想及其相关的线性和非线性微分方程整体解，我获得了一个较为广泛的成果；第二、研究费尔马型函数方程亚纯函数解的存在性问题以及其他相关的函数方程，重点研究了两项费尔马型函数方程的差分形式，给出了这类方程亚纯解的结构形式，并证明其结果是精确的，也是唯一的；这也是我们首次研究涉及差分的费尔马型函数方程，推广了研究的范围，并且在结果上有了较大突破；在函数方程的亚纯解的存在性理论研究中，我们引入了一个很实用的算子，我们利用该算子解决了一类函数方程的亚纯解的存在性问题。第三、研究了复解析动力系统，这类研究一直是我国数学家所关心的重要研究方向，我们也是初步涉及这方面的研究，而且与我们所熟悉的复分方程理论相结合，重点研究一类复线性微分方程的整函数解的导数的Julia 集的径向分布，在适当条件下，我们证明这类复微分方程的整函数解及其导数的Julia 集具有相似的径向分布, 并找到了它们的下界。第四、我们对微分、差分方程理论的做了重点研究，建立了全纯曲线涉及低增长移动目标的卡当第二基本定理等，这对微分、差分方程理论的值分布研究奠定了基础。我们还研究了一类微分方程的次正规解，证明了此类微分方程次正规解的存在性，并估计了次正规解的增长级的大小，推广了Wittich, Gundersen 及 Steinbart的研究工作。此外我们研究了差分方程解的值分布性质，如差分多项式解的零点收敛指数、增长级及唯一性等；对亚纯函数与其q-差分算子具有分担集时的值分布性质，部分回答了Gross 提出的涉及q-差分的一个问题。以上列举了我们的主要成果和内容，所有研究都是该研究方向的学术前沿问题，其成果的建立对今后复分析的发展、探索有重要的科学意义。