复域差分方程、微分差分方程亚纯解的性质及应用研究

In the study of complex analysis, equation theory in complex field is an important research area. With the introduction of value distribution theory, difference equations and differential-difference equations in complex domain develop quickly, and there are many relevant research achievements. Moreover, the research backgrounds and applications of these equations get more and more attention. Nevertheless, the properties of meromorphic solutions of difference equations and differential-difference equations such as existence and growth have not been solved satisfactorily yet. In this project, we will study difference Riccati equation and Pielou logistic equation, and discuss the expression forms, growth and other properties of their meromorphic solutions under the coefficients without restriction or the coefficients satisfying certain special relations. We will study the existence, expression forms and growth of two types differential-difference equations in the project. In addition, we will apply equation theory to uniqueness theory and mainly study the unicity of meromorphic solutions of a type difference equation sharing values with meromorphic functions in this project, whose research can be considered as an application of difference equations as well as the enrichment and development of uniqueness theory. Researches in the project are helpful to deepen and enrich equation theory in complex field.

在复分析的研究中，复域方程理论是一个重要的研究领域。随着值分布理论的引入，复域差分方程和微分差分方程发展迅速，得到了许多研究成果，并且它们的研究背景和应用得到了越来越多的关注。但是，关于差分方程和微分差分方程的亚纯解的存在性以及增长级等性质的研究尚未得到圆满解决。本项目将研究差分Riccati方程和Pielou logistic方程，讨论方程的系数在没有限制条件或系数满足一些特殊条件时方程的亚纯解的表示形式和增长级等性质。本项目还将研究两类微分差分方程，考虑方程的亚纯解的存在性、表示形式和增长级等问题。另外，本项目将运用复域方程理论研究唯一性理论，重点研究一类复域差分方程的亚纯解与函数具有分担值的唯一性，这方面的研究既可以看作差分方程的应用，也可以丰富和发展唯一性理论。本项目的研究有助于深化和丰富复域方程理论。

复域微分方程和差分方程在物理学、量子力学等学科中有着广泛的应用背景。近年来，随着值分布理论及其差分模拟的引入，方程理论的研究成为了一个新的研究热点，受到了越来越多学者的关注。在本项目中，我们采用经典的Nevanlinna值分布理论、Clunie引理及其差分模拟、Wiman-Valiron理论等工具，研究几类微分方程和差分方程的亚纯解的性质。另外，本项目运用亚纯函数的唯一性理论对整函数的差分算子和导数具有分担值的问题进行了研究。具体内容如下：.(1)我们考虑了一类高阶微分方程，讨论了有理系数微分方程的亚纯解在三种情形下的增长级和零点分布情况。.(2)我们研究了一类由有限级超越整函数所形成的差分多项式的性质，并讨论了两类差分方程在某些条件下的亚纯解的存在性和表示形式。.(3)我们研究了有限级整函数的差分算子和导数CM分担小函数的唯一性问题，得到了Brück猜想的一种微分差分模拟。. 通过本项目的实施，增强了对微分方程与差分方程的理论认知和应用认知，为进一步研究微分差分方程提供了理论支撑和方法支撑。本项目中所研究的唯一性问题丰富了此方面的理论。