Lévy过程轨道空间上的拟不变性与泛函不等式

Lévy processes are fundamental models of Markov processes. It is well known that a Lévy process can be decomposed into two independent parts: the diffusion part and the jump part. In recent years, there are increasing interests in the study of Lévy processes. Comparing with the study of the diffusion processes, however, known results on the jump ones are quite limited. This project is mainly devoted to the path space analysis and functional inequalities for Lévy processes. First, we aim to extend the classical Cameron-Martin theorem to subordinate Brownian motion case by using regularization approximations, and then establish integration by parts formula and functional inequalities. Moreover, the quasi-invariance problem under random shifts and functional inequality on the path space of Lévy-driven Ornstein-Uhlenbeck processes will also be considered. Finally, we shall investigate various functional inequalities for Lévy-type processes via the comparison techniques.

Lévy过程是马氏过程中的一个基本模型。一般来说，一个Lévy过程可以分解为扩散项和纯跳项两个独立部分。近些年来，已经有越来越多的概率学家正在研究关于Lévy过程的各种问题。但是，与关于扩散过程的丰富研究结果相比，现有关于跳过程的研究结果还非常有限。这个项目主要考虑Lévy过程的轨道空间分析和泛函不等式。首先，我们希望运用正则逼近的技巧将经典的Cameron-Martin定理推广至从属Brown运动情形，并建立分部积分公式和泛函不等式。其次，本项目考虑由Lévy过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的轨道在随机平移下的拟不变性问题，进而建立狄氏型和相应的泛函不等式。最后，我们计划用比较技术来研究Lévy型过程的各种泛函不等式。

本项目的研究对象是一类样本轨道不连续的重要马氏过程—Lévy型跳过程。近些年来，已有越来越多的概率学家正在研究关于Lévy过程的各种问题。但是，与关于扩散过程的丰富研究结果相比，现有关于Lévy跳过程的研究结果还非常有限。在本项目中，我们主要关心Lévy型跳过程的轨道空间分析，以及相关的一些概率不等式。首先，我们在从属Brown运动的轨道空间上建立了Cameron-Martin型拟不变性定理，进而讨论了相应的分部积分公式、梯度算子和狄氏型理论，这些结果将激励和启发我们在跳过程的轨道空间上继续开展相关的随机分析研究。其次，我们澄清了马氏过程的几类次几何式收敛速度和平移Harnack不等式在从属时间变换下的稳定性问题，这为我们研究跳过程的长时间行为提供了一条新的途径。最后，我们还用耦合方法建立了几类由不连续噪音驱动的随机微分方程的Harnack不等式和对数Harnack不等式，这些结果可以用来刻画非局部算子的各种分析性质。