图与赋权图的Q谱理论及其相关问题

图谱理论是代数图论和组合矩阵论的重要研究领域，在物理、化学、生物、电子工程等学科中有重要应用。图与赋权图的Q谱理论是图谱理论近年新发展的研究领域，是一个新的研究热点。本项目的研究内容是基于Q矩阵的Q谱理论，应用多项式理论、Hermite矩阵、线图、剖分图、不定方程等新的理论和方法，研究5方面的重要问题：Q整图；图的Q能量；图的Q特征值；图的Q谱唯一性；赋权图的Q谱。扩展图谱理论的研究内容和方法。.创新之处：应用非负矩阵理论、Ky Fan定理、Rayleigh商、Perron向量、谱扰动、TU子图、瓶颈矩阵等新的理论与方法研究Q谱理论；目前Q整图的构造、图的Q能量极图的刻画、Q谱唯一图的确定和赋权图的Q特征值估计的研究结果很少，是新的研究方向；将Q谱理论用于研究赋权图是一种新的探索。.本项目拟解决图与赋权图的Q谱理论的一些关键问题，取得创新性成果，发展丰富图谱理论体系，具有重要的科学意义。

本项目主要研究图与赋权图的Q谱理论及其相关问题，主要研究了Q整图，图的Q能量，图的Q特征值，图的Q谱唯一性，赋权图的Q谱，具有重要的科学意义，主要成果包括：（1）分别给出了刻画完全多部图是Q整图（Seidel或距离整图）的充要条件。（2）得到了图的广义线图能量与它的拉普拉斯能量以及Q能量之间的关系。完整刻画了n阶5-正则最优斜能量的所有定向图。（3）刻画了图的Q特征值与图的参数之间的联系。分别确定了给定阶数与/或围长的单、双、三圈图的Q谱半径及其极图。得到了n阶双圈图集中具有最大或第二大的Q谱展的唯一双圈图。确定了具有最大的Q-Estrada指标的唯一n阶单圈图以及树、单圈图、双圈图的依据谱矩序列S_4的排序。（4）刻画了有向图的Q谱半径的上下界及其极图。得到了用有向图的出度、出度序列和平均二出度等表示它的Q谱半径的几个上下界。（5）证明了所有三叶草图都是由它们拉普拉斯谱唯一确定的。证明了所有的强连通双圈有向图都是由其Q谱唯一确定的。刻画了几类单圈图和几类多圈图都是由它们的拉普拉斯谱唯一确定的。（6）项目组还在赋权有向图的重圈、有向图的割覆盖、定向图的斜秩、图的Hamilton性、图的拓扑指标等方向上取得了大量研究成果。