有向图与符号有向图的谱理论研究

The spectral theory of digraphs and signed digraphs is a new developing research direction on the theory of graph spectra in recent years. In particular, there are few studies on the iota energy of digraphs and the spectra of signed digraphs. It is a new exploration of this project..The project will apply some new methods and techniques by using new properties of matrices (such as the geometric symmetrization of a matrix, the properties of Schur unitary matrix etc.), new spectral grafting transformations, new Coulson’s integral formula, the properties of eigenvalues and principal eigenvectors etc. and apply some theories and methods by combining with Group Theory, Number Theory, Raleigh quotient, Ky Fan theorem, Gershgorin circle theorem, residue theorem, trigonometric function inequality etc. to study the spectral theory of digraphs and signed digraphs. The project will study mainly four kinds of important problems: spectral radius of a digraph, energy of a digraph, digraph determined by its spectrum and spectra of signed digraphs..This project will study the theory of graph spectra from undirected graphs extended to digraphs or signed digraphs. The project will reveal the essential differences and connections between their spectra by researching perspectives of the difference between the spectra of digraphs, signed digraphs and undirected graphs..The project will characterize the relationship between spectral characterations and structure properties of digraphs and signed digraphs. This project also reveal the relationship between their spectral properties and their parameter invariants. This project will achieve innovative research results on the direction of the spectral theory of digraphs and signed digraphs. The study of the project has an important scientific significance.

有向图与符号有向图的谱理论是近年图谱理论新开辟的研究方向，其中有向图iota能量和符号有向图的谱的研究结果很少，是本项目的一个新探索。.本项目应用矩阵新的性质（矩阵几何对称性质、Schur酉矩阵性质等）、新的谱移接变换、Coulson积分公式、特征值与主特征向量性质等新的方法与技巧，结合群论、数论、Raleigh商、Ky Fan定理、盖尔圆盘定理、留数定理、三角函数不等式等理论和方法，研究有向图与符号有向图的谱理论。主要研究四类重要问题：有向图的谱半径、有向图的能量、有向图的谱确定性和符号有向图的谱。.本项目将图谱理论研究从无向图推广到有向图或符号有向图上。从有向图、符号有向图和无向图的谱的差异角度，揭示它们的谱之间的本质区别与联系。.本项目探究有向图、符号有向图的谱特征与其结构性质之间关系，揭示其谱性质与图参数之间关系。拟在有向图、符号有向图的谱理论方向取得创新性研究成果，具有重要意义。

有向图与符号有向图的谱理论是图谱理论的新的重要研究方向，其研究与代数图论、线性代数、矩阵论、群论等紧密相关，具有重要的理论意义。本项目主要围绕有向图的谱半径、有向图的能量、有向图的谱、符号有向图的能量等问题展开研究工作，主要研究成果包括：确定了在给定阶数和弧连通度的强连通有向图集中具有最大无符号拉普拉斯谱半径或具有最小距离无符号拉普拉斯谱半径的有向图；提出了有向图的Dα矩阵的概念，得到了在给定阶数的强连通有向图集中具有最大或最小的Dα谱半径的有向图，还分别刻画了在给定色数、点连通度或弧连通度的强连通有向图集中具有最小Dα谱半径的有向图；给出了赋权有向图的无符号拉普拉斯谱半径的一个上界，并刻画了当此图为强连通时达到上界的极值图；得到了在强连通非正则有向图中，最大出度与Aα谱半径的差关于直径、点连通度、最小出度等参数的一些下界；给出了在给定阶数的有向树、单圈或双圈有向图中具有最大或最小拉普拉斯能量的有向图；完整刻画了具有两个正有向偶圈或两个负有向偶圈的能量的排序，也得到了具有一正一负两个有向偶圈的能量的排序，还确定了给定阶数的双圈符号有向图中的最大或最小符号有向图能量；刻画了直径为1-7、n-1的n阶强连通有向图中具有最小距离谱半径的强连通有向图及其极值图；分别确定了在给定围长、团数、点连通度或弧连通度的n阶强连通有向图集中达到最小或最大的Aα谱半径的有向图；首次提出了有向图的离心矩阵的概念，得到了直径为2的强连通有向图的离心能量和距离能量的下界，刻画了有向图的离心矩阵的谱半径的下界以及对应的极值图，给出了一些特殊有向图的离心谱和离心能量；得到了蒲公英图和破损蒲公英图分别能被其拉普拉斯谱确定；得到了有限交换环上的单位一匹配双凯莱图或单位齐次双凯莱图以及它们的补图和线图的能量，也刻画了某些一匹配双gcd图及其补图的能量。此外，项目组还在图或超图的谱半径、图的Gallai-Ramsey数、图的Turán数、图的哈密尔顿性、图的拉普拉斯完美态传递等方向上取得了一些研究成果。本项目的研究内容涉及图谱理论、组合矩阵论、群论等，是一个多学科相互交叉和相互影响的研究课题。本项目的研究拓展了图谱理论的研究范围，得到的这些研究成果丰富和发展了有向图与符号有向图的谱理论。