Hilbert概型上相交数的万有性公式

Hilbert schemes play an important role in the study of Algebraic Geometry. It is natural to study the relationship between the invariants of the Hilbert schemes of points and the corresponding invariants of the previous scheme. These include the relationships between Betti numbers, Hodge numbers, cobordism classes, Chern classes, elliptic genus, Euler numbers and so on, and the formulas of the relationships are usually universal, i.e. they do not depend on the explicit structure of the scheme. In this project, we plan to study the universal formulas of intersection numbers on Hilbert schemes of points. We expect to derive the explicit closed formula of these formulas, and find their relationships with modular forms and integrable hierarchy.

Hilbert概型是代数几何中的重要研究对象，一个自然的问题是研究概型的n点Hilbert与原概型一些对应不变量之间的关系，包括Betti数、Hodge数、配边类、陈类、椭圆亏格、欧拉数等等，这样的对应关系往往是万有性的，即形式不依赖于X本身。在本项目中，我们计划研究n点Hilbert概型上相交数生成函数的万有性公式。我们希望能够得到这些生成函数的闭合形式，并且找到它们与模形式和可积系统的联系。

作为代数几何中的重要研究对象，Hilbert概型表示论、数论、组合数学、数学物理等多个数学分支都有联系。本项目主要聚焦于n点Hilbert概型上相交数生成函数的万有性公式，研究这些生成函数的闭合形式及它们与模形式和可积系统的联系。一方面，我们证明了两个曲面上n点Hilbert概型上tautological丛相关生成函数的猜想公式，计算了配边环并提出了一些猜想。另一方面，我们探讨了Hilbert概型与可积系统之间的联系，并做了一些可积系统方面的研究。.