限制性组合结构的研究

Permutation patterns and statistics, non-crossing partitions, plane partitions and other restricted combinatorial structures are playing an increasing role in enumerative combinatorics, which also appear frequently in other branches of mathematics such as poset topology, geometry of polytopes and analysis. The focus of this project is on the enumerative properties and statistics of these classical restricted combinatorial objects, as well as combinatorial identities and gamma-positivity related to them. The main research tools are combinatorial bijections, analytical techniques of generating functions, combinatorics of continued fractions and Rees products of posets. This project will not only enrich the content and techniques of enumerative combinatorics, but also have potential applications in computer sciences and mathematical biology.

排列的有禁模式和统计量、不交叉的集合划分、平面分拆等限制性的组合结构在计数组合学中扮演着越来越重要的角色，并且在偏序集的拓扑、多面体几何学和分析学等其他数学分支中经常出现。此课题将研究这些经典的限制性组合结构的计数性质和统计量，以及与之相关的组合恒等式和gamma-非负性。研究的主要工具是组合双射、生成函数的分析技巧、连分式的组合学和偏序集的Rees乘积。这个研究项目不仅可以丰富计数组合学的研究内容和技巧，而且在计算机科学和生物数学中具有潜在的应用价值。

此项目聚焦于排列的有禁模式和统计量、不交叉的集合划分、平面分拆等限制性组合结构上计数性质的研究，证明了欧美学者提出的若干计数猜想，包括Dukes和Parviainen同分布猜想的对称化推广、Levande猜想及其推广、Spiro关于投票排列的同分布猜想和Dilks关于Baxter排列的双射猜想。与Dongsu Kim合作组合证明了k-不交叉集合划分上的欧拉变换恒等式，与马俊等人合作引进了多重集标号的弱递增树并作为一个意外的应用首次给出了k-多重集Eulerian多项式gamma-系数的组合解释。这些研究不仅可以丰富计数组合学的研究内容和技巧，而且在计算机科学和生物数学中具有潜在的应用价值。