限制性组合结构的性质研究

Restricted combinatorial structures arise from original combinatorial structures with additional restrictive conditions. It is an important research topic in the area of enumerative combinatorics. In this project, we aim to study the combinatorics of restricted combinatorial structures, mainly including:.1.The combinatorics of restricted permutations. Analogous to permutations with bounded drop size, we aim to introduce new type of restricted permutations and investigate the distributions of common permutation statistics on these permutations..2.The combinatorial property of pattern avoiding posets. On the one hand, we will continue to investigate the comb-like posets and rectangular posets avoiding the remaining patterns of length 3 and 4 or longer patterns. On the other hand, we will generalize this problem by considering other classes of posets, as well as other types of patterns..3.The combinatorial property of pattern avoiding inversion sequences. The results of inversion sequences avoiding patterns of length 3 and triples of binary relations give a number of well-known numerical sequences, which also count other combinatorial structures. In this project, we seek to give the corresponding combinatorial interpretations. Moreover, we will explore the combinatorial property of inversion sequences avoiding patterns of length 4, as well as generalized patterns.

限制性组合结构是由原有组合结构加入限制性条件而生成的。它是计数组合学中重要的研究课题之一。此项目中，我们将对一些限制性组合结构的组合性质展开研究，主要包括：.1.限制性排列的组合性质。模拟最大下降数排列，我们将尝试引入新类型的限制性排列，并研究其上统计量的分布与联合分布问题。.2.有禁偏序集的组合性质研究。一方面，我们将继续研究未解决的梳子型、矩形偏序集避免3长、4长甚至更高长度模式的计数问题。另一方面，我们将通过考虑新类型的偏序集及各种扩展的模式来对该问题进行推广型研究。.3.有禁逆序表的组合性质研究。避免3长字及三元关系组的逆序表的研究中产生了很多著名已知序列。这些序列同时计数了许多其他组合结构。我们将尝试通过组合双射的构造给出这些问题的组合解释。此外，我们也将尝试考虑避免4长字及扩展模式的逆序表的计数与统计量分布问题。

限制性组合结构是由原有组合结构加入限制性条件而生成的。本项目旨在研究限制性结构的组合性质。主要地，我们研究了限制性组合结构上的各种统计量的同分布性质。. 我们双射证明了一系列排列、有禁排列、最大下降数排列上的统计量同分布性质。这些统计量包括但不仅限于Mahonian统计量、Eulerian统计量、Stirling统计量、模式函数。作为推论，我们可以得到第二类q-stirling数、q-catalan数、q-Narayana数和q-ballot数的新组合解释。此外，由于组合结构间的一一对应关系或推广关系，我们得到了部分上述排列结论在集合分拆、有序集合分拆、有序重集合分拆、限制增长函数、非限制增长函数和Laguerre Histories等组合结构上的对应结果。. 我们研究了部分避免三元关系组的逆序表集合的组合性质。具体地，我们双射证明了asc在两组避免三元关系组的逆序表集合上生成函数的对称性。从而解决了林志聪老师提出的猜想。该猜想已由Andrews和Chern代数证明确认，而双射证明一直悬而未决。与此同时，我们得到了另一避免三元关系组的逆序表集合上asc的生成函数的gamma非负性。. 我们构造了避免123模式的矩形偏序集线性扩张与Catalan词之间的双射。此外，我们借助有禁子图完全刻画了12-可词表示格图，并类似地猜想了12-可词表示线格图的刻画问题。