无波动节点间断Galerkin方法的高效构造及应用

Unstructured high order methods on the complicated geometries are attracting extensive attentions for the potential high efficiency on computation, but they still remain the difficulty in computational fluid dynamics. An open question in the difficulty is how to capture the shock waves without oscillations near the discontinuities and keep the high order accuracy on the smooth regions. Based on a highly efficient nodal discontinuous Galerkin method, this project aims to develop the high order accurate limiter to capture the shock waves. This limiter uses the secondary reconstruction and Hermite secondary reconstruction to provide the limiting candidate polynomials, modifies the weights computation in WENO/WBAP limiters and simplifies the characteristic limiting. And these components make it easily implemented, no problem-dependent parameters, accuracy preserving, smooth and robust. Numerical results show that this limiter is much more accurate than the existed limiters for discontinuous Galerkin methods and can be applied on different types of unstructured grids. This project will apply the developed high order non-oscillatory numerical schemes in computing the three-dimensional high-Mach compressible flows on complicated geometries efficiently.

复杂外形下非结构网格高精度数值方法由于其潜在的高计算效率而受到广泛关注，但至今仍然是计算流体力学一个难点。其中一个重要的未解决问题是如何在保持光滑区高精度前提下，无波动地捕捉激波等间断结构。本项目从具有高效率的节点间断Galerkin方法为基本求解器框架，发展出一套无波动限制器用以捕捉激波。这个限制通过二次重构/Hermite二次重构提供限制器候选多项式，修改WENO/WBAP权重计算和简化特征限制过程等手段，最终发展成一套易于实现、无问题相关参数、保持精度和分辨率、光滑和鲁棒性好的限制器。初步数值结果表明该限制器对比已有的间断Galerkin方法限制器精度大为提高，而且能作用在各种类型的非结构网格中。本项目最终将这种无波动高精度数值方法应用到三维计算，以提高复杂外形下高马赫数可压缩流动计算效率。

本项目推广了间断Galerkin谱元法(DGSEM)在二维和三维高阶混合网格计算可压缩流动。原DGSEM方法只能在四边形和六面体单元中采用一维Gauss-Legendre积分点的张量积作为求解点与积分点分布，相比其它DG方法在计算可压缩流动中具有实现方便、存储量少和计算效率高等特点。为了在混合网格中应用DGSEM方法，该项目在采用了基于球包对称分布的三角形SCP点和四面体CCP点分布，保持了与原方法类似性质和实施高效等特点(故也称之为DGSEM-SCP/CCP格式)，从而将格式推广到混合网格下的高阶精度(目前应用到最高六阶)。对于新构造的格式，本项目进行了线性稳定性和精度保持等性质分析并说明了该格式的合理性，而且通过大量可压缩流动例子说明非线性稳定性。为了捕捉激波等间断，项目提出了在混合高阶单元在实施二次重构WENO的实施方法。然而该方法实施复杂，计算量大。为了提高计算效率，提出了一种容易实施的构造候选多项的投影式方法，得到一个高分辨率的二阶精度限制器，并结合与问题无关的间断探测器，同样能够高分辨率地捕捉激波。 隐式时间积分格式的实施有利于加快收敛而减少计算时间，项目采用Jacobi-Free GMRes办法减少存储量，在预处理过程采用点Gauss-Seidel方法。最后项目实施了Spalart-Allmarus(SA)模式和SA-IDDES模式来计算湍流流动，并通过工程例子说明格式的应用。