随机游动的渐近理论及其在风险理论中的应用

Random walks are one of the most important objects in probability. Most of the studies about random walks are carried out in the convolution equivalent distribution classes. The project will consider the non-convolution equivalent case and investigate the asymptotics of random walks in some non-convolution equivalent distribution classes. The project will discuss the asymptotics of the supremum, the overshoot, the undershoot of random walks and their moments for two cases that the mean of the increment of random walks is finite or infinite. Using the obtained results, for the non-convolution equivalent claim sizes, the asymptotics of the ruin probability, the surplus before the ruin time and the deficit at the ruin time are investigated for the renewal risk model and some other risk models.

随机游动是概率论中的一个重要对象，随机游动的研究大都在卷积等价分布族中进行的。本课题将考虑非卷积等价的情形，在一类非卷积等价分布族中，讨论随机游动的渐近性。将根据随机游动的增量的均值存在和不存在分别讨论随机游动的上确界、随机游动的超出、不足及其矩的渐近性。利用所得结果，在非卷积等价索赔的情况下，讨论更新风险模型及其他风险模型的破产概率、破产前的盈余及破产时的亏损等量的渐近性。

随机游动是概率论中的重要的研究对象，在随机游动理论中，随机游动的上确界，随机游动的超出及随机游动的不足在金融保险中具有一定的应用背景，如随机游动的超出可以刻画Sparre-Andersen风险模型中的破产时的亏损额。根据项目计划书，本课题主要讨论随机游动及风险理论中破产概率的估计两个方面，完成了项目计划书提出的研究任务。所得结果都将各自方向的相应结果做了较大的推广和改进。. 在随机游动方面，本课题一个难点和创新点就是在非卷积等价分布族中讨论随机游动的性质。为此，课题组先在卷积等价分布族中进行研究，得到了随机游动超出的尾的一致渐近性质。以此为出发点，课题组考虑了在卷积等价分布族之外如何对相关量进行讨论。对此问题，课题组在一类非卷积等价分布族中讨论了随机游动超出的尾的性质，得到了其尾的一致渐近估计。. 在风险理论方面，本课题主要考虑了带常利率的风险模型。对此类模型，课题组分一维和二维风险模型加以讨论。在一维风险模型中，当索赔额和索赔来到时间间隔都各自带有某种相依结构时，在重尾索赔下，得到了模型的有限时破产概率的估计。在二维风险模型中，当索赔额和索赔来到时间间隔同样都各自带有某种相依结构时，在具有扰动的情况下，得到了有限时破产概率的渐近估计。