随机度量理论及其在随机过程的动态风险中的应用

受我们在随机度量理论及其对条件风险度量理论应用的最近工作的启发，本项目进一步将金融工程与风险管理中所涉及的重要的无界随机过程类通过合理构造纳入到随机赋范模的框架下，并研究这些随机赋范模的随机共轭表示，进而在其上给出动态风险度量的恰当定义，尤其研究其条件凸对偶表示与时间一致性问题。这些工作为无界随机过程空间上的动态风险度量的研究开辟了一条全新的途径。该项目所取得的结果不仅在金融工程与风险管理中有广泛的应用价值，而且其内容和研究方法也体现了金融数学、随机分析与随机度量理论之间的内在联系与深度融合。

正如经典的凸分析是凸风险度量的分析基础，随机凸分析是条件或动态风险度量的分析基础。本项目首先系统建立了随机凸分析的基本理论——即随机局部凸模中的Fenchel-Moreau的对偶性定理，连续性与次可微性定理。本项目所建立的随机凸分不同于西方金融学者早期所建立的结果在于：我们更正了西方金融学者的基本错误，并在同时考虑随机局部凸模的两种拓扑下展开这一理论，所获得的基本理论是历史上第一个正确的版本，而且由于我们同时考虑了两种拓扑并利用了两种拓扑各自的优缺点，从而所获得结果也是最彻底的。进一步考虑了迄今为止西方金融学者提出的三种条件风险度量的统一与扩张问题，证明了两种基于向量空间途径的条件风险度量都可以扩张为基于条件风险模途径的条件风险度量，尤其证明了前两种条件风险度量的条件凸对偶表示定理也可以看作条件风险模途径中的条件凸对偶表示定理的特殊情况，从而统一了迄今为止的三种条件风险度量，这为利用条件风险模途径统一研究条件风险度量奠定了基础。由于Farkas引理与Minkowski-Weyl型定理都是凸分析与优化理论中的基本结果，它们对很多优化问题解的存在性以及求解算法都起着关键的作用，因此本项目的另一个重要工作就是在随机局部凸模的框架下将这些经典结果随机化，这一成果已被西方金融学者成功用于不完备市场的均衡定价理论的研究。熟知，Ekeland变分原理是非线性分析与非凸优化理论的有力工具，我们在本项目中也在完备随机度量空间上建立了Ekeland变分原理的随机化形式。随机凸分析的建立完全依赖于随机赋范模与随机局部凸模的空间理论，因此我们也对随机赋范模与随机局部凸模的空间理论进行了深入的研究，将Banach空间著名的次自反定理与Bishop-Phelps定理均推广到完备的随机赋范模框架上。随机凸分析的建立比经典凸分析要复杂与困难的多，其本质的原因是随机局部凸模比通常的局部凸空间具有更为复杂的拓扑与代数结构，比如我们建立了随机局部凸模的两种随机共轭空间的精确联系，这使随机局部凸模中基本分离定理得以透彻研究的关键，在此基础上我们也建立了随机对偶系，尤其建立了随机的双极定理，并在此基础上给出了随机局部凸模在局部L^0-凸拓扑下为L^0-准桶模的特征，这一特征是连续性和次可微性定理建立的关键。由于本项目成功地建立了随机凸分析理论并对相关的空间理论问题进行了透彻的研究，故更适于条件风险度量理论。