动态随机介质中随机游动的渐近性质及其相关问题研究

Random walk in random medium is one of the basic models in random media which gather a variety of probability models often originated from physical science and are the hot topic in the fields of probability theory and statistical physics. Along the lines of the characteristic of the environment randomization, i.e., the space and time randomization, this project mainly discusses the asymptotic properties of random walk in dynamic Markovian environment and its related problems. (1) Based on our before work, Strassen's invariance principle for random walk in static random environment and the law of the scalar type iterated logarithm for random walk in dynamic Markovian environment, we continue to study the law of the vector valued iterated logarithm for random walk in dynamic Markovian environment by the method of homogenization and regeneration technique. (2) We intend to prove the large deviation for random walk in dynamic Markovian environment, by analysing the sample paths of the particle and using the tools from large deviation theory, such as Gartner-Ellis theorem, contraction principle and so on. (3) We also explore the relations between Sinai's random walk in random environment and the discretization version of the diffusion process related to beta-Laguerre random matrices.

随机介质中随机游动是随机媒介领域中最基本的模型之一，是目前概率论和统计物理研究的热点之一。有别于通常的静态随机介质，本项目拟沿着时空相依这条思路,研究动态马氏随机环境中随机游动的渐近性质及其相关问题。具体内容包括：（1）在前期获得的静态随机环境中随机游动的Strassen 不变原理和动态马氏随机环境中随机游动的分量形式的重对数律基础上，利用homogenization方法和regeneration 技巧继续研究动态马氏随机环境中随机游动的向量形式的重对数律；（2）利用停时技巧对样本轨道做精细分析，借助Gartner-Ellis 定理、收缩原理等大偏差理论工具研究动态马氏随机环境中随机游动的大偏差；（3）将beta-Laguerre随机矩阵的关联算子所对应的扩散过程做离散化处理，初步探索该离散过程同Sinai型随机环境中随机游动的联系。

随机介质中随机运动是随机媒介领域中最基本模型之一，是目前概率论和统计物理研究的热点之一。起源于多元统计和高能物理的随机矩阵理论也是众多数学分支的交汇点之一。本项目的愿景即是探索随机介质中随机运动（Sinai型随机游动）和随机矩阵（beta-Laguerre系综）之间的关联。主要研究内容为：（1）随机环境中扩散过程以及动态马氏随机环境中随机游动的对数型极限定理；（2）初步探索beta-Laguerre系综的关联算子与Brox扩散的无穷小算子之间的联系。对内容（1），我们证明了一类动态马氏随机环境中随机游动以及一类满足Sznitman (T_\gamma)|_l 条件的随机环境中扩散过程有经典的重对数律结果；由于时间等关系，为研究内容（2），利用本项目的支持，我们仅只对随机矩阵做了初步探索，从“Universality”角度出发，研究了相依随机矩阵模型的经验谱测度，证明了一类矩阵元具有局部强 $m$ 相依关系的Wigner 矩阵和样本协方差矩阵的经验谱测度分别弱收敛于半圆律和MP律；证明了样本容量与数据维数满足 $p/n\to c\in(0,\infty)$ 或$0$ 时，由无界（有界）$m$ 相依平稳随机序列构成的样本协方差矩阵的经验谱测度的Stieltjes 变换收敛于某非随机的确定的概率测度的Stieltjes 变换。