张量填充问题的理论与算法

张量填充问题是指根据张量部分已知元素，按照一定的规则，精确地或近似地恢复张量，这是一个从众多实际问题的求解中提出来的数学问题，其研究具有重要的理论意义和实际应用价值。本项目从目前国际上研究很热的矩阵（即二阶张量）填充问题入手，在元素具有非负性等更多实用限制条件下，以矩阵极小秩的核范数松弛模型和光滑逼近模型为主要研究对象，讨论矩阵精确恢复的条件等理论问题，设计求解大规模矩阵填充问题的有效算法，并应用于求解某些实际问题。特别，本项目重点探讨高阶张量填充问题这一内容新、涵盖面广、应用性强的崭新课题。探索高阶张量填充问题中数学模型的合理性、高阶张量精确恢复的存在性以及能够精确恢复的条件等，力求建立高阶张量填充问题的理论基础；利用高阶张量分解、高阶张量低秩逼近等工具，设计求解高阶张量填充问题的数值方法，从理论分析和数值实验两方面来验证所设计算法的有效性，并应用于求解某些实际问题。

项目的背景与意义: 在实际中，人们面临的问题越来越复杂，由于受到问题本身的复杂性、现有的检测技术等多方面的限制，往往很难得到完全的数据。为了准确地描述所考察的问题，人们需要恢复丢失的或未知的数据。由于张量是描述复杂数据的有效工具，所以以上问题可以模型化为张量填充问题，或更广地，张量低秩恢复问题。这一问题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。.项目内容：内容之一，考察了矩阵低秩恢复问题的理论与算法，研究了该类问题非凸松弛方法的RIP条件，提出了一个求解非凸松弛问题的快速算法并应用于图像恢复问题；内容之二，重点考察了高阶张量低秩恢复问题的理论与算法，研究了该类问题凸松弛的精确恢复条件，包括RIP条件、零空间性质和s-good性质等，并讨论了不同条件之间的关系，提出了四个求解该类问题凸松弛的快速算法，并获得了很好的数值结果。另外，在本项目的资助下，课题组还研究了弥散峰度张量的正定性及其在核磁共振中的应用、高阶张量的特征值理论、高阶张量所定义的实多项式不等式组的择一定理、对称锥互补问题以及人脸识别。.重要结果：在矩阵低秩恢复方面，非凸松弛方法近两三年广为关注，课题组率先研究了矩阵低秩非凸松弛模型的精确恢复条件，提出了非凸松弛方法的RIP条件，并证明了在适当的采样量下，所提出的条件能够高概率满足，该工作发表于信息方面的顶级期刊IEEE Transactions on Information Theory。在高阶张量低秩恢复方面，课题组建立了低n-秩高阶张量低秩恢复问题凸松弛方法的精确恢复理论，推导出了RIP条件、零空间性质和s-good性质等，建立了关键的理论，并讨论了不同条件之间的关系；同时，利用变量分裂技术、凸优化理论与方法、变分不等式的理论与方法等，提出了求解低n-秩高阶张量低秩恢复问题凸松弛模型的不动点迭代方法和分裂增广Lagrangian方法、极小n-秩逼近模型的迭代硬阈值算法以及三阶张量低多重秩问题凸松弛模型的迭代算法，证明了几个算法的收敛性，并应用于图像修复等问题，获得了很好的数值结果。.关键数据：在项目的资助下，已经发表标注项目基金号的SCI检索论文20篇（其中有一篇二区期刊COAP的论文待检索），毕业博士生4名、硕士生6名。2013年，项目组负责人荣获2012年教育部高等学校自然科学奖二等奖。