张量方程组和张量互补问题的数值算法

Tensor equations and tensor complementarity problems often appear in medical engineering, data mining, DNA microarrays, game theory and numerical computation of partial differential equations. Tensor equations and tensor complementarity problems are special nonlinear equations and special nonlinear complementarity problems with particular structures. It is very important to develop numerical methods for solving those problems using the particular structure of the problems. In this project, with the help of the special structure of the problems, we will develop numerical methods for solving tensor equations and tensor complementarity problems. We will pay particular attention to the tensor decomposition based numerical methods for the problems. We will study the convergence theory and numerical performance of the methods.

张量方程组和张量互补问题在医学工程，数据挖掘、基因排序、对策论，微分方程计算等许多领域中有重要的应用。张量方程组和张量互补问题是一类具有特殊结构的非线性方程组和非线性互补问题，利用其特殊结构，有针对性地研究求解问题的特殊数值算法是一项非常有意义的工作。本项目的主要研究内容有：研究张量方程组和张量互补问题的具有张量特点的算法，基于张量分解的张量方程组和互补问题的算法。研究算法的收敛性理论, 并进行数值检验。

项目在求解张量方程和张量互补问题的数值算法方面的研究取得了一系列成果. 在求解张量方程方面: 理论上给出了张量方程存在非负解的一个充要条件。数值算法的研究方面取得了一系列成果. 提出了求解M张量方程的一个具有单调收敛性的数值算法, 算法计算量小且产生的迭代点列单调收敛与问题的解. 与已有算法不同是, 对于常数项无要求的方程, 算法可求得方程的一个非负解,只要该方程非负解. 针对常数项为非负的M张量方程, 利用张量的结构以及M-张量的性质，通过变量替换，提出了求解M-张量方程的一种非精确Newton法，算法具有全局收敛性和二次收敛速度，对某种特殊张量方程，可以一次得到解, 该算法的一个重要优点是算法的初始点可以是任意正元素。并对算法进行了改进，提出了求解M-张量方程的一种精确Newton算法，该算法也具有全局收敛性和二次收敛速度. ..在求解张量互补问题的数值算法方面, 提出了求解Z张量互补问题的一个数值算法并证明了算法的收敛性, 提出了求解M-张量互补问题的一种线性化算法，该算法不是求解非线性互补问题的线性化算法的简单应用，而是充分利用张量互补问题的特殊结构，先经过变量替换，对问题进行转换，在此基础上再进行线性近似。我们证明了算法的单调收敛性。数值计算的结果表面，我们的算法数值效果很好。在上面的基础上，我们还提出了一种低维线性方程组逼近算法。该算法的子问题是低维的线性方程组，具有计算量小，收敛较快的优点。我们也证明理论算法的收敛性...我们还研究了求解张量Z特征值的可行点下降算法和Newton法，并证明了算法的收敛性. 对于一阶算法, 我们的算法具有Q-线性收敛速度, 而Newton法具有二次收敛速度. .我们对所提出的算法均进行了大量数值实验,结果表明, 所提出的算法非常有效..