具有非紧间断势的Wigner输运方程的数值模拟

Nanotechnology research has become one of the most important topics in the world, and is also one of the fields in which our country could gain a leap-forward development. As the device scaling goes into the nano scale, the role of the quantum effects in the design of semiconductor devices can not be ignored. This project is mainly concerned with the algorithm design and numerical simulation of the Wigner equation, one of the most accurate models for the investigation of the quantum transport. Until now, there are some bottlenecks in the study of Wigner equation which prevents its more wide application. We think they are related to two aspects: one is the discretization of the pseudo-differential operator of the Wigner equation with a non-compactly supported and discontinuous potential, and the other is the inflow boundary condition which is not fully consistent with the quantum mechanics. How to solve the challenging issues and obtain a highly efficient and convergent numerical algorithm is the kernel problem of this project. We will make use of the generalized Fourier transform and the Gibbs phenomenon removal method to study the potential integral term, and the non-equilibrium Green function method to study the boundary conditions. The final goal of this project is to develop a nano-device simulation software based on our new numerical algorithm for the Wigner equation, provide a highly accurate simulation tool for the next-generation semiconductor devices, and make a contribution of our country’s semiconductor development.

纳米科技已经成为国际上研究的重要课题，在我国，也是有望取得跨越式发展的重要研究领域。随着器件尺寸的缩小进入纳米尺度， 量子效应在器件设计中的作用已不容忽视。本课题主要研究最精确的量子输运模型之一—Wigner方程的算法设计和数值模拟。截至目前，Wigner方程的研究仍存在一些瓶颈，使得该方程并没有得到真正广泛的应用。我们认为原因在于它的非紧间断势积分项的离散和不相容的入射边界条件的设置。如何攻克这两个极具挑战性的困难，得到高效收敛的算法是我们这个项目要解决的核心问题。我们拟利用广义Fourier变化和Gibbs现象消除法研究势积分项的离散，利用非平衡Green函数法研究边界条件的设置。最终研究目标是应用我们的数值算法开发出一套纳米器件模拟软件，为下一代半导体器件设计提供高精度的数值模拟工具，从而为我国半导体器件的发展做出贡献。

纳米技术是一门交叉性很强的综合学科，涉及到数学、物理、材料、微电子等多个领域。它在国民生产和国防建设方面都有着重要的应用，因此纳米技术的研究对提升一个国家的竞争力有着至关重要的作用。.纳米尺度下的物质运动规律将不可以避免地涉及到量子力学。该项目研究的是量子统计力学方程即量子输运方程（Wigner方程），它是和薛定谔方程等价的一个量子力学的描述工具，给出了相空间上的准概率密度满足的演化方程，把薛定谔方程的波函数和统计力学的概率密度联系起来。由于Wigner方程和Boltzmann方程具有很强的相似性，Boltzmann方程用来模拟器件的一些处理方法可以推广到Wigner方程上。但是相比Boltzmann方程相比，Wigner方程的有一个拟微分算子项，这一项的离散有着很多的参数选取，现有的研究结果还没有找到一个恰当的准则来得到一个收敛的数值格式。用于模拟半导体器件的电流-电压特性的稳态Wigner方程的入射边值问题的适定性还是一直没有解决的公开问题。在项目的支持下，我们对此问题进行了深入的研究。.我们研究了带有一类特殊电势的Wigner方程的入射边值问题，证明了该问题的适定性，并且证明了该问题的解是对称的，甚至在入射边值不具有对称性的情况，这种对称性仍然存在。该结果对Wigner方程入射边值问题的适定性研究的最终结果有着重要的意义。我们应用香农取样定理和算子半群理论设计了一种收敛的数值格式，并且给出了严格的理论证明。我们从器件电势主要特征入手来设计改进的边界条件，即在考虑器件主要电势特征的情形下，计算有界区域边界上的Wigner 函数值，作为改进的Wigner方程新的入射边界条件，数值结果显示了此方法的有效性。另外，我们还模拟了一些纳米器件，研究了器件的电流-电压特性，分析了器件的设计参数对器件特性的影响以及拟弹道输运模型在10纳米尺度下的有效性等。 .这些结果陆续发表在SIAM J. Appl. Math., J. Comput. Phys., IEEE Trans. Technology, J. Sci. Computing 等国际SCI杂志上。