半群上向量值的调和分析、变差不等式及其相关问题

The study of the interactions between Functional analysis, Harmonic analysis and Probability has been shown to be very impressive and interesting, including applications to the theory of partial differential equation. Harmonic analysis on semigroups, variational inequalities, commutative and noncommutative martingales and geometry of Banach spaces will be studied in this project. It is also appropriate to investigate the interactions of these areas in depth, in particular the interplay between the geometry of Banach space and vector-valued variation inequalities..This project will have several parts. The first one is devoted to the study of Harmonic analysis on semigroups associated to the parabolic operator. We will exploit the vector-valued calderon-Zygmund theorems to this field by using the language of semigroups. The second one deals with ergodic and variational inequalities on general semigroups of operators, which will develop some important results in harmonic analysis and Ergodic theory. The third one goes to character the relationship between Banach-valued q-variational inequalities and the geometric properties of Banach space. Also we will consider the variational inequalities for noncommutative martingales and the theory of noncommutative martingale spaces. We firmly believe that the research in these topics is significant in different fields. We also believe we can make a successful contribution to the fundamental mathematics and applied mathematics.

本项目涉及泛函分析、调和分析和概率论的交叉研究，以及在偏微分方程理论中的应用，具体研究半群上的调和分析，变差不等式，(非)交换鞅论以及Banach空间几何性质刻画等问题。一方面以上几个问题都可成为独立的研究主题，另一方面它们又相互联系，成为统一的研究整体。研究内容包括：1）发展联系于抛物型算子半群上的向量值奇异积分理论，并应用于偏微分方程正规性问题；2）遍历和抽象半群上的变差不等式，推广调和分析和遍历论的重要结果，以及非交换鞅的变差不等式及非交换鞅空间；3）Banach空间值变差和跳跃不等式以及与值空间几何性质的相互依赖关系，给出Banach空间几何性质变差形式的刻画。 研究内容反映了不同数学科的交叉与渗透，得到众多国内外不同领域数学工作者的关注，它即有深入的理论基础，又有崭新的问题和广泛的应用。在我们已有工作的基础上，本项目将取得可预期、高质量的数学理论研究成果。

该项目的研究涉及以下几个方面：1) 系统研究调和分析、遍历论和抽象半群上涉及的变差和振荡不等式，并讨论 Banach 空间值变差不等式成立和Banach空间几何性质的相互依赖关系； 2) 发展联系于抛物型算子半群上的向量值奇异积分理论，并应用于偏微分方程正规性问题；3) 发展抽象函数空间, 非交换鞅空间和算子值函数空间的刻画理论。一方面以上几个问题形成一个统一的研究整体，另一方面它们都可成为独立的研究主题,具体包括变差不等式、半群上的调和分析、(向量值和算子值) 函数空间刻画， Banach 空间几何性质刻画等问题的研究,以及在偏微分方程正规性理论中的应用。在我们已有工作基础上，完成了一系列的研究论文高质量的数学理论研究成果。这些研究成果反映了泛函分析、调和分析和概率论等不同学科的交叉与渗透，得到众多国内外不同领域数学工作者的关注，它即有深入的理论基础，又有崭新的问题。