AIC, BIC及Cp准则在大维架构下的强相合性研究

In statistical variable selection, the most widely used criterions should be AIC, BIC and Cp criterion. And it has been proved that BIC is strong consistent in traditional regression models. With social progress and the development of computer technology, high dimensional data are more and more common. Thus, for the high dimensional data, whether AIC, BIC and Cp criterion are also applicable is the most pressing problem. Therefore, in this project, we will investigate the strong consistency of AIC, BIC and Cp criterion under the large dimensional settings, which assume that the rates of dimension and the sample size tending to infinity have the same order. We will show the following three kinds of results: (1) the strong consistency of AIC, BIC and Cp criterion for high dimensional regression model; (2) the strong consistency of AIC, BIC and Cp criterion for high dimensional principle component analysis; (3) the strong consistency of AIC, BIC and Cp criterion for high dimensional canonical correlation analysis. More specially, we will show that under some high dimensional conditions, AIC and Cp criterion are strong consistent, but BIC is not, which are converse to the traditional results. In addition, we will also consider other criterions which are developed from AIC, BIC and Cp criterion, such as CAIC、MAIC、HAIC、MCp and so on.

在变量选择中，应用范围最广泛的准则莫过于AIC、BIC和Cp准则，而且有理论证明BIC在经典回归模型中是强相合的。随着社会的进步以及计算机技术的发展，高维数据越来越普遍，对于高维数据，AIC、BIC和Cp准则是否依然适用便成为了摆在研究者面前一个亟待解决的问题。本项目将主要研究在大维架构下，即样本维数与样本量同阶趋于无穷时，AIC、BIC和Cp准则的强相合性。其中包括如下三个方面：（1）高维线性回归模型中AIC、BIC与Cp准则的强相合性；（2）高维主成分分析中AIC、BIC与Cp准则的强相合性；（3）高维典型相关分析中AIC、BIC与Cp准则的强相合性。特别地，我们将证明，AIC和Cp准则在满足某些高维条件时是强相合的，而BIC是不相合的，这与经典结论完全相悖。同时，在此基础上，我们也将对于其他的衍生准则进行研究，例如CAIC、MAIC、HAIC、MCp等。

在变量选择中，应用范围最广泛的准则莫过于AIC、BIC和Cp准则，而且有理论证明BIC在经典回归模型中是强相合的。随着社会的进步以及计算机技术的发展，高维数据越来越普遍，对于高维数据，AIC、BIC和Cp准则是否依然适用便成为了摆在研究者面前一个亟待解决的问题。本项目的主要研究内容是在大维架构下AIC、BIC和Cp准则的强相合性。所谓大维架构是一种高维统计模型假设，其与经典多元统计分析理论的区别在于假设样本来自某阶矩有限的总体, 并且假设样本维数与样本量同阶趋于无穷。相对于经典理论，无论是理论层面还是应用层面，大维架构都具有其特殊的优越性。首先，从理论上说，我们不再局限于样本来自正态分布，或者任意其它特定分布，通常我们只需要假设总体4阶矩有限就足够了，同时也可以证明此矩条件为最优条件。特别地，我们证明在高维情况下如果BIC相合，则AIC相合，反之不一定成立，这与经典结果是相悖的。另外，本项目的其他部分重要结果还包括如下三个方面：（1）建立了大维椭球分布协方差矩阵线性谱统计量的中心极限定理，据此构造了球形检验统计量并分别证明了其在原假设与局部备择假设下的渐近分布；揭示了大维复椭球分布信道矩阵对多输入多输出系统的香农互信息的影响；（2）研究了大维独立样本典型相关矩阵特征根的性质，构造了多总体独立性检验问题的Schott型统计量，并证明其在原假设下的中心极限定理；系统建立了有限秩情况下大维典型相关系数估计方法，并证明其强相合性以及中心极限定理，为大维典型相关分析提供了理论基础。（3）建立大维Beta矩阵线性谱统计量的中心极限定理，据此构造检验大维两总体协方差矩阵相等的似然比统计量与Pillai迹统计量，并证明其渐近分布。以上结果不仅推广了部分随机矩阵的极限理论，而且也为传统多元统计分析方法的高维应用提供了理论保证。