分子动理学中两类可压缩模型的奇异极限问题研究

The proposed program aims at studying singular limits of two compressible models in kinetic theory, one of which is the weakly compressible Stokes (WCS) system derived from the hydrodynamic limit theory of the Boltzmann equation, and the other originates from one new compressible viscoelastic complex fluids model for polymers. The former plays an important role in the Stokes dynamics of the Boltzmann equation, and we will study here two timescales asymptotes of the weakly compressible Stokes system in a periodic or bounded domain with some special Navier-slip boundary conditions. The latter is in fact a compressible micro-macro viscoelastic fluids for polymeric models, which is more close to the practical model and has not been considered in previous researches. We will study here the global existence of classical solutions and the related zero Deborah-Mach number limits of the compressible polymeric fluids model.

本项目研究分子动理学中两类可压缩模型的奇异极限问题，主要包含以下两方面：一方面考虑由Boltzmann流体动力学极限理论中所衍生的弱可压Stokes型流体系统，另一方面考虑在聚合物流体中可压的粘弹性复杂流体模型，意对其中涉及的奇异极限问题进行研究。前者的研究对于Boltzmann方程的Stokes流体动力学极限问题有直接推动作用，在此我们将研究弱可压Stokes型流体系统在两种不同的时间尺度下的极限问题，其极限系统分别为acoustic系统与不可压Stokes系统，包含了周期与有界两种情形。后者是聚合物流体的可压缩微观-宏观耦合的粘弹性流体模型，更接近真实的模型，而在之前对复杂流体的研究中尚为少见。我们在此研究关于可压的聚合物流体模型经典解的全局存在性、以及相关的零Deborah数与零Mach数耦合极限问题。

本项目主要研究了微观上分子动理学与宏观流体模型中的可压缩模型，这些模型均具有很强的物理意义。我们围绕如下四个与适定性和流体动力学极限等奇异极限相关的问题，综合利用能量变分法、包含空间变量与微观位形变量的能量估计、处理周期区域快速震荡声波的滤子方法、处理一类Navier滑移边界的边界层渐近分析技术、Hilbert展开方法等等理论和工具，进行持续深入的研究，获得了系列进展：. (1) 弱可压的Stokes型流体系统, 于不同尺度(长时间与短时间尺度)、不同边界条件(周期与有界及Navier滑移边界)下的渐近性质; . (2) 可压缩的宏微观耦合聚合物流体模型经典解的整体适定性; . (3) 自组织粒子流体系统的适定性与流体动力学极限问题; . (4) 时间分数阶的平均场博弈变分模型.. 本项目的实施，有助于从严格的数学理论上来对宏观与微观模型本身的适定性质、以及彼此之间的渐近关系进行刻画描述，同时也促进了对原物理模型的理解深度。