流体力学方程组中的若干奇异极限问题

The Navier-Stokes equations (NS) is the basic governing equations for viscous fluids, which has been widely applied in the field of physics, engineering, and computational science. Study of the vanishing viscosity limit and hydrodynamics stability of viscous fluids is one of the most classical subjects in fluid dynamics getting attention and interest from the most prominent mathematicians and theoretical physicists..In this proposal, we intend to investigate some problems on singular limits in fluid-dynamical system, including the local and global well-posedness and blow-up criteria of the incompressible Navier-Stokes equations and its related systems, the vanishing viscosity limit of the incompressible Navier-Stokes equations with some physical boundary conditions, and the hydrodynamics stability of basic shear flows of those equations. These issues stem from fluid dynamics with strong physical background and application context. The progress achieved in this proposal will help to further improve the theory in the field of nonlinear partial differential equations.

Navier-Stokes(NS)方程是描述粘性流体运动规律的最基本的方程，被广泛应用于物理、工程及科学计算等领域，其粘性消失极限与动力学稳定性是数学物理学家一直关注的核心课题。.本项目拟研究流体力学方程组中的奇异极限理论，包括研究不可压缩Navier-Stokes方程及其相关模型的局部与整体适定性及爆破准则，不可压缩Navier-Stokes方程在各类物理边界条件下的粘性消失极限，以及各类基本剪切流的动力学稳定性。这些问题来源于有强烈物理背景和应用背景的流体动力学领域，本项目的研究将有助于进一步完善和发展非线性偏微分方程的理论和方法。

流体力学方程组中的奇异极限问题在海洋运动、大气物理、量子力学等理论及工程等方面具有广泛的应用，一直以来是国际偏微分方程领域研究热点问题之一，然而其数学理论特别是在数学上严格验证这些极限过程结果很少。.本项目在流体力学方程组中的奇异极限理论方面取得了一系列成果，包括：证明了Rotational-Green-Naghdi(R-GN)方程的大时间局部适定性，并在大时间范围严格验证了在浅水波区域中Rotational-Camassa-Holm (R-CH)方程是R-GN方程的逼近，进而是无漩不可压缩Euler方程的的高阶非线性逼近；得到了具有渗透效应的二维不可压缩MHD-Boussinesq方程的整体适定性；证明了三维无漩轴对称各向异性Navier-Stokes-Boussinesq方程的整体适定性定理及其粘性消失极限及收敛率；解决了不可压缩Euler方程相关正则化模型的收敛性问题；建立了三维等熵可压缩Navier-Stokes方程在无任何相容性条件的物理真空边界条件下的局部适定性等。.本项目的研究有助于深刻理解流体粘性、真空状态及其它物理参数影响流体运动的机制，为探索海洋运动、量子力学奥秘、物理实验及应用提供数学理论指导。