重根临界条件下的KAM理论及其应用

In the late 1980s, the KAM theory has been significantly generalized to infinitely dimensional Hamilton systems so as to show that there are quasi-periodic solutions for some class of partial differential equations. However, there are not KAM theorems that can be applied to the derivative nonlinear Schrodinger equation under periodic boundary conditions which corresponds to the infinite dimensional Hamilton systems with multiple normal frequencies and critical unbounded perturbations. One of our objects is just formulating an appropriate KAM theorem for the above infinite dimensional Hamilton systems. The other object is researching the KAM theorem for infinite reversible systems with multiple normal frequencies and critical unbounded perturbations, and then applying it to the derivative nonlinear wave equation subject to periodic boundary conditions to obtain the quasi-periodic solutions.

上世纪八十年代末, KAM理论日渐成熟, 能够用来处理由偏微分方程出发得到的无穷维Hamilton系统拟周期轨道的存在性问题。但是KAM理论发展到现在，像周期边界条件下的带导数薛定谔方程等一大类偏微分方程是否存在拟周期解，仍然无法给出确定的答案。而上述偏微分方程对应的Hamilton系统正是具有有限重法向频率，临界无界扰动的无穷维Hamilton系统。本项目的一个主要目标就是给出有限重法向频率，临界无界扰动的无穷维Hamilton系统的KAM定理。另一个主要目标是给出有限重法向频率，临界无界扰动的无穷维反转系统的KAM定理，并将其应用到周期边界条件下的带导数波方程，得到它的拟周期解。

上世纪八十年代末, KAM 理论日渐成熟, 能够用来处理由偏微分方程出发得到的无穷维Hamilton系统拟周期轨道的存在性问题。但是KAM 理论发展到现在，像周期边界条件下的带导数薛定谔方程等一大类偏微分方程是否存在拟周期解，仍然无法给出确定的答案。而上述偏微分方程对应的Hamilton 系统正是具有有限重法向频率，临界无界扰动的无穷维Hamilton 系统。本项目的一个主要研究内容是给出有限重法向频率，临界无界扰动的无穷维Hamilton 系统的KAM 定理。另一个主要研究内容是给出有限重法向频率，临界无界扰动的无穷维反转系统的KAM 定理，并将其应用到周期边界条件下的带导数波方程，得到它的拟周期解。. 本项目的主要结果：（1）我们得到了带有小分母，大变系数的向量同调方程的解的估计，以此为基础，我们建立了一个新的KAM定理，它适用于法向频率为有限重数，带有无界扰动的无穷维Hamilton系统。我们还并将这个新的KAM定理应用到周期边界条件下带导数的薛定谔方程，得到了它的拟周期解。该结果的创新之处在于得到了带有小分母，大的变系数的向量同调方程的解的估计，因此可以处理无界扰动下，法向频率为重根的无穷维Hamilton系统的拟周期解的存在性，之前的一些关于无界扰动的结果中所涉及的法向频率均为单根，但是我们的研究成果可以处理法向频率为重根的情况。（2）我们得到了带有一般非线性项的波动方程的拟周期的存在性。非线性波动方程是具有物理背景的方程，可以用来描述波的运动。之前很多文章考虑的波动方程的拟周期的存在性，但是对于带有一般非线性项u^2p+1的波动方程结果较少，有一个结果是把波动方程中的质量m作为参数，得到了拟周期解的存在性。（3）我们还得到了波动方程的KAM环面（即拟周期的）的长时间稳定性。我们的做法是在KAM环面附近建立高阶Birkhoff标准型，再证明p-tame性质在KAM迭代和标准型迭代下是保持的。关于波动方程拟周期解的存在性很多文章都考虑过，一个很自然的问题是这些拟周期解是不是长时间稳定的？在多长的时间内可以保持稳定？这个稳定的时间和初值有什么样的关系？这就是本研究成果所要解决的问题。之前是有结果考虑波动方程零解，薛定谔方程拟周期解的稳定性，我们的创新之处在于考虑的是波动方程的拟周期解的稳定性，并且从KAM定理的角度来看，波动方程比薛定谔方程复杂些。