Navier-Stokes方程可扩展两重网格并行算法

How to use super computer systems nowadays with enormous parallel computing capacity to numerically solving large scale scientific and engineering computing problems is a key problem in the field of computational mathematics and engineering computing. Based on our previous study on the variational multi-scale methods for the Navier-Stokes equations and the local and parallel finite element methods, we try to construct and analyze some expandable two-grid local and parallel finite element schemes for the Navier-Stokes equations that can be easily applied to parallel computer systems of any scale by using the partition of unity technique and superposition principle. We expect to enrich the theoretical results of the usual local and parallel algorithms and overcome the defect that the usual local and parallel algorithms, theoretically speaking, do not have the potential to be implemented in super computer systems because of the restriction of the least scale of the local subproblem. And finally, we expect the schemes studied in this project will take full advantage of the parallel computing ability of the super computer systems.

如何充分利用当今超大规模并行计算机系统提供的并行计算能力高效数值求解大规模科学与工程计算问题是计算数学和科学与工程计算领域的重要问题。本项目以Navier-Stokes方程为研究对象，在前期研究Navier-Stokes方程变分多尺度算法以及局部并行有限元方法的基础上，试图利用单位分解技术及叠加原理构造一种可在任意规模并行计算机系统上高效实现的可扩展两重网格局部并行算法，从理论上克服经典局部并行算法对局部子问题最小规模有下界限制从而制约方法可扩展性的缺陷，以达到对并行计算机系统所提供的并行计算能力的充分利用。

针对如何充分利用当今超大规模并行计算机系统提供的并行计算能力高效数值求解大规模科学与工程计算问题, 特别是流体力学相关方程组, 在前期研究工作的基础上, 试图构造可扩展的基于两重网格有限元的局部并行算法. 项目主要在以下几个方面展开了研究. 首先, 针对椭圆方程, 利用单位分解及叠加原理, 构造了一种可扩展的两重网格局部并行迭代算法, 与传统局部并行算法相比, 子问题的求解规模可以随着计算核心数的不断增长而减小, 使得算法更适合于在大规模并行计算机系统上的扩展, 进而实现现有计算资源的充分利用. 同时对算法进行了细致的收敛性分析, 得到了获得最优逼近阶的具体迭代次数的估计. 在椭圆方程研究工作基础上, 我们将算法构造与分析方法应用到Stokes方程, 获得了一种可扩展的Stokes方程局部并行算法. 项目的另一个主要研究内容是与流体力学方程组有关的多物理场耦合问题的并行解耦算法研究. 针对Stokes/Darcy耦合问题两重网格有限元解耦算法数值上可获得最优收敛阶而理论分析无法获得最优收敛阶的开放问题, 借助边界条件的椭圆延拓, 从理论上证明了算法的最优收敛性, 解决了这一开放问题. 随后, 针对Stokes/Darcy和Navier-Stokes/Darcy耦合问题, 借助我们获得的可扩展两重网格局部并行算法的计算框架, 研究了这些耦合问题的局部并行计算方法. 同时, 针对大气海洋耦合流动涉及的流-流耦合问题, 研究了该问题的解耦算法, 并对算法的稳定性收敛性进行了分析. 最后, 为进一步提高大规模科学计算问题的并行计算效率, 在空间并行的基础上, 借助谱延迟校正技术、Parareal算法, 考虑了Navier-Stokes方程以及Stokes/Darcy, Navier-Stokes/Darcy耦合问题的时间并行计算方法的构造和分析.