基于两重网格的Navier-Stokes方程并行自适应后处理及变分多尺度算法研究

针对NS(Navier-Stokes)方程拟就下面两个有一定关联的问题展开研究. 首先, 基于前期具有弱耦合特性两重网格后处理算法的研究, 针对在相应有限元算法中占用大量计算资源的线性化细网格后处理过程, 研究后处理问题的局部化和相应的并行算法, 建立可在小至单元量级上并行实现的标准Galerkin算法的后处理过程, 以充分利用现有的超级计算机实现大规模并行后处理计算. 同时注意到NS方程的解, 特别在大雷诺数条件下, 存在多尺度现象并且存在空间分布不均匀的特点, 拟通过研究并行后处理算法的局部后验误差估计, 给出相应的并行自适应后处理算法. 项目的另一个相关研究内容为针对大雷诺数条件下NS方程有限元并行自适应变分多尺度算法的研究. 借助并行后处理算法的思想, 研究NS方程并行变分多尺度算法, 并在局部后验误差估计的基础上建立自适应并行变分多尺度算法.

大雷诺数问题有效和高效数值方法是计算数学领域一个重要的问题。项目针对这一问题利用变分多尺度方法进行了高效算法的研究，借助局部的不同精度高斯积分差技巧，改进了传统的变分多尺度算法，使得算法无需额外计算速度梯度张量，大大降低了解题的计算规模，在此基础上，将这一技巧和方法用于自然对流问题的数值求解，也取得了很好的理论和数值结果。同时，我们对算法进行了后验误差估计，并以此为根据构造了自适应变分多尺度算法，进一步降低了计算代价，同时这一思想也被成功地应用于Stokes界面问题以及其他椭圆界面问题。另一方面，我们针对传统两重网格局部并行算法扩展到大规模并行计算机系统上执行的理论上的不足，研究了基于单位分解的可扩展局部并行算法，使得局部并行求解区域尺寸可以随粗网格尺寸趋于零而趋于零，使得算法具有很好的扩展性；第三，针对三维问题求解的困难，在维数分裂方法理论的基础上，针对正规区域上的三维椭圆问题，给出了相应的维数分裂算法，回避了三维有限元网格生成的问题，得到了算法的收敛性以及误差估计。第四，我们针对近年来广受关注的多物理场耦合问题的数值求解，研究了Stokes-Darcy、Navier-Stokes-Darcy以及MHD方程等多物理场耦合问题的分离算法，给出了一些改进的分离算法，得到了最优误差估计。最后，我们也研究了包括三维Navier-Stokes方程在内的一些耗散系统解的长时间行为，包括全局和拉回吸引子的存在性。