特征值问题自适应非协调有限元方法及其应用

很多科学与工程问题最后会归结为特征值问题。对于这些问题，计算出真实特征值一个近似的上界相对而言容易些，如所有的协调元方法产生的特征值都是上界。但是要求得特征值一个有逼近性的下界却绝非易事。已有文献研究表明，在一定条件下，非协调元方法产生的特征值是真实特征值的下界。本项目将主要研究特征值问题的自适应非协调元方法，包括二阶椭圆特征值问题自适应非协调元方法的收敛性和最优性，高阶椭圆特征值问题非协调元方法的后验误差分析及相应自适应算法的收敛性和复杂性。 将上述研究应用于流固耦合问题并研究其相应的自适应方法及相关数学理论。目标是快速高效地求解特征值的近似下界并建立相关数学理论。

本项目主要对特征值问题自适应非协调有限元方法及其应用进行研究。对任意维空间中的二阶椭圆特征值问题，证明了用Wilson元得到的离散特征值是真实特征值的下界。基于非协调扩充矩形旋转Q1元，给出了 Stokes算子特征值一个确切的下界逼近，与文献中大多数渐近下界逼近不同的是这个确切下界逼近不要求网格充分细。对Poisson问题，在真解只有基本正则性的假设下，利用后验估计的技巧，基于非协调有限元空间两个合理条件，证明了在相差一个高阶震荡项的意义下相容性误差可以被逼近误差所界定。对各向异性扩散问题，构建了有限元格式的整体修复技术，该技术不但保持了总体能量，保证了有限元格式的精度，其计算量也很小。对泊松问题，在矩形网格上，给出了新的分析有限元迭代亏量校正格式收敛性的方法，主要思想是在单元上，把两个关键的不等式转变为广义矩阵特征值问题，然后求解这两个矩阵特征值问题，建立了迭代解的收敛性。二维情形下，这一结果改进了文献中已有结果，三维情形下的结果是文献中没有的。将一阶非协调四边形扩充旋转Q1元推广到任意奇数阶情形，定义了形函数空间和相应的自由度，证明了唯一可解性，在一般四边形网格上，分析了这族元的先验误差估计，与经典的非协调有限元误差分析相比，我们只需要求精确解具有H1的正则性。