非局部边值问题的特征值及其应用

Nonlocal problems of differential equations, derived from the research on Mechanics, Demographic, Medical science, Combustion theory and other fields, have become an important topic nowadays. Our project aims to study some nonlocal problems of differential equations based on multiple branches of Differential Equations and Nonlinear Analysis, including Qualitative theory, Eigenvalue theory, Kernel function theory, Variational method, Topological degree and so on. 1. Show some ideas which is useful to study the existence ,multiplicity and estimate of periodic solutions of nonlocal differential equations ；2 because the singular equation is very important to the study on stability of differential equation, we will study this equation independently, and give some existence, multiplicity results and solution dependent on parameters and its estimation. 3.Describe the eigenvalues and spectrum of nonlocal boundary conditions, and give some applications. Through the efforts our goal is the initial formation of a certain characteristic of research ideas and systems.

微分方程的非局部问题来源于对力学、人口学、医学以及燃烧理论等领域的研究，因此对非局部问题的研究是一个重要的课题。本项目旨在利用微分方程、动力系统、非线性分析的多个分支，包括：定性理论；特征值理论；核函数理论；变分法和拓扑度等，研究微分方程的非局部问题：1.对非局部微分方程的周期解的存在性、多重性和解的精确估计进行深入研究，给出此类问题的启发性研究思路；2.由于奇异方程在研究稳定性问题时发挥重要作用，我们还将对此进行独立研究，并给出一些典型的非线性奇异方程周期解解的存在性、多重性结果和解对参数的依赖性；3.研究微分方程在非局部边界条件下的特征值，并给出一些应用。我们的目标是经过努力，初步形成有一定特色的研究思路和体系。

微分方程的非局部问题来源于对力学、人口学、医学以及燃烧理论等领域的研究，因此对非局部问题的研究是一个重要的课题。本项目主要取得了以下成果：..(1)基于二阶椭圆方程特征值的分布，利用核函数和不动点理论，研究一类二阶耦合的反应扩散方程组稳态解的存在性和多重性。在此基础了，利用不动点理论研究带有特征参数的五阶微分方程周期解的情况,以及给出Monge–Ampère方程组径向解的存在性、唯一性和多重性的充分条件。.(2)利用变分法，研究具有局部超二次势的p(t)- Laplacian 系统周期解的存在性。进一步研究二四阶椭圆方程组非平凡解的存在性和多重性。最后利用古典的Galerkin 方法和Brouwer 不动点，研究带有一般非线性项的非局部四阶Kirchhoff-型椭圆方程。.(3)研究分数阶斯图姆-刘维尔问题的李雅普诺夫不等式、解的存在性、唯一性和多重性。