哈密顿系统与薛定谔-泊松系统多解问题的研究

In this project, we mainly investigate the multiplicity of homoclinic solutions for a class of non-autonamous Hamiltonian systems and multiple solutions for a class of nonlinear Schrödinger-Poisson systems (or Schrödinger-Maxwell equations). Our main tools include variational methods, critical point theory, index theory, spectral theory of operators and classical theory of ODE and PDE. These issues that we focus on are very important in not only the research areas of Hamiltonian systems and nonlinear elliptic equations but also the mathematical fields such as nonlinear analysis, dynamical systems, symplectic geometry, PDE and so on. In addition, they also have a wide application prospect in other related subject areas.

在本项目中，我们将主要对一类非自治哈密顿系统同宿解的多重性问题以及一类非线性薛定谔-泊松系统（也称为薛定谔-麦克斯韦方程组）的多解问题展开研究。研究工具主要包括变分方法、临界点理论、指标理论、算子的谱理论以及常微分方程与偏微分方程的经典理论工具等。项目中研究的这两类问题不仅是哈密顿系统和非线性椭圆方程（组）研究领域中的重要问题，而且在非线性分析、动力系统、辛几何以及偏微分方程等数学领域中也具有重要的意义，同时也在与之相关的其它学科领域中有着广泛的应用前景。

在本项目中，一方面，我们对一阶非自治哈密顿系统和分数阶哈密顿系统等几类常微分或分数阶微分方程组各种解的存在性与多重性展开了研究。运用变分方法，Morse理论以及经典的常微分方程理论等研究工具，我们取得了一系列重要的相关研究成果。具体地，对于一阶非自治哈密顿系统，我们在其哈密顿函数中的非线性项关于空间变量仅在原点附近有定义且满足两类较为宽泛的次二次增长性的条件假设下证明了其具有一列聚集到原点的小能量同宿解；对于分数阶哈密顿系统，我们在其非线性项关于空间变量在无穷远处满足某种局部超二次增长性的条件假设下证明了其至少具有一个非平凡解，并且在其非线性项关于空间变量仅在原点附近有定义且满足某种较弱的次二次增长性的条件假设下证明了其具有一列聚集到原点的小能量解。. 另一方面，我们也对非线性薛定谔-泊松系统和薛定谔-基尔霍夫型方程等二阶椭圆型方程组以及静态狄拉克方程等一阶偏微分方程组等各类解的存在性与多重性进行了研究。运用变法方法，临界点理论以及经典的偏微分方程理论等研究工具，我们也得到了若干重要的相关研究成果。具体地，对于非线性薛定谔-泊松系统，我们在其非线性项满足某种较弱的局部次二次增长性的条件假设下得到了其无穷多小能量小解的存在性结果；对于薛定谔-基尔霍夫型方程，我们在其非线性项满足较为宽泛的次二次增长性的条件假设下证明了其具有无穷多小能量解；对于静态狄拉克方程，我们在其非线性项关于空间变量是周期的且满足某种局部次二次增长性的条件假设下证明了其无穷多周期解的存在性。. 我们在本项目中所取得的以上这些研究成果不仅在很大程度上推广和改进了已有文献中的相关结果，而且也为相关问题的进一步研究提供了较为重要的思想和新的方法技巧。