一类不定的薛定谔-泊松系统及相关问题的研究

By variational methods, we study the existence and non existence of ground states of a class of indefinite Schrodinger-Poisson system. The existence of multiple bound states as well as their properties are also studied. For different type of potential functions, different coefficient of coupling term and coefficient functions in the nonlinear part, we will establish different variational structure. And by studying different constraint variational problems and comparing their relations, we prove the existence of ground states and the multiplicity of bound states. In the road of studying Schrodinger-Poisson system, we aim to develop a new variational theory and techniques. Then using the techniques developed here, we study the existence and nonexistence of ground states to a class of Kirchhoff equation with various potential functions and different type of coefficient functions in the nonlinear term. The existence and multiplicity of bound states of Kirchhoff equation will be also studied. This project will promote the research work of Schrodinger-Poisson system and Kirchhoff equation. It will also accelerate the development of critical point theory and its applications.

本项目拟运用变分方法研究一类不定的薛定谔-泊松系统的基态解的存在性、不存在性，束傅态解的存在性和多重性及其性质。针对不同类型的位势函数、耦合项的系数函数以及非线性部分的系数函数，建立不同的变分框架，进而通过研究各种不同的约束变分问题和比较不同的变分问题之间的关系，来证明基态解的存在性、束缚态解的多重性。同时在研究薛定鄂-泊松系统的过程中，我们拟发展新的变分理论和变分技巧，并把这些理论和技巧运用于研究带有位势函数、非线性部分带有各种不同类型的系数函数的Kirchhoff方程的基态解的存在性、不存在性；束缚态解的存在性、多重性及其性质。 本项目的研究将大力推动薛定鄂-泊松系统的研究成果和Kirchhoff方程的一些研究成果，促进临界点理论及其应用的发展。

本项目按照预期的研究计划开展研究工作。在项目执行过程中，充分运用变分方法中的理论和技巧，根据所研究的问题的结构，发展了一个新的研究步骤和估计技巧，进而研究了一类更一般的非线性薛定鄂-泊松方程，在耦合的泊松项所对应的泛函不具备弱连续性的条件下证明了2个正解的存在性；证明了一类带参数和Kirchhoff项带椭圆方程的在凹凸非线性条件下多重正解的存在性；证明了一类带快速增长非线性项和临界指数增长椭圆方程解的存在性和多重性；建立了解的存在个数与系数极值点个数之间的一个关系；对于一个椭圆特征值问题给出数值试验。本项目在执行过程中，共完成7篇论文，其中1篇发表在SCI 1区收录的期刊上，5篇发表在SCI 3区收录的期刊上。完成了预期的研究计划。