一类高阶耦合变系数微分方程的边值问题及其应用

针对Euler模型的缺陷，即结构在受力时忽略剪切变形和惯性矩的作用致使理论与实际结果有较大差距，本项目首次采用高阶梁理论分析轴向功能梯度梁的动态性质，故而导出了一类复杂的高阶耦合变系数微分方程，对于该方程，公开发表的文献中还鲜有涉及。研究中以这类耦合方程为切入点，提出了一种解析的方法将高阶耦合变系数微分方程的边值问题转化为求解Fredholm积分方程或代数方程的特征值问题，然后通过模态的级数展开使得特征值被确定下来；进一步将数值计算模型应用到分析轴向功能梯度梁在复杂荷载下自由振动和屈曲时的动力学特征。通过该项目的研究，预期将揭示这类为微分方程在特定条件下解的存在性和稳定性，建立相关边值问题的数值计算程序；弄清梯度参数对于梁结构的临界荷载和振动频率的影响，给出常见连续梯度函数下高阶非均匀梁的优化设计。本项目的研究属于数学与力学的交叉学科，其成果对于结构的安全设计和新材料的开发，具有重要意义。

针对Euler 梁和Timoshenko梁理论的不足，本项目首先建立了高阶梁模型，不仅受力时考虑了结构的剪切变形和惯性矩的作用，满足了结构边界自由的条件，并且确定了截面剪切系数的大小和截面上剪力的分布。采用高阶梁理论和Timoshenko梁分析了轴向功能梯度梁的动态性质，并导出了一类复杂的由挠度和转角耦合的高阶变系数微分方程，研究中以这类耦合方程为切入点，通过引入辅助函数，提出了一种解析的方法将高阶耦合变系数微分方程转化为高阶常微分方程的边值问题，最后利用位移模态的级数展开将问题转化为求解代数方程的特征值问题，使得自然频率的低阶至高阶特征值被确定下来。进一步将模型应用到分析变截面梁和轴向功能梯度梁自由振动，通过与有限元等数值方法计算的结果对比，本项目提出的方法具有快速的收敛性和高度的精确性，文章中讨论了截面系数和梯度参数对于梁结构振动频率的影响。本项目还讨论了利用高阶梁分析碳纳米管的波动行为，通过与分子动力学的结果对比发现采用高阶梁计算的结果更加稳定精确。本项目的研究属于数学与力学的交叉学科，其成果对于结构的安全设计和新材料的开发，具有重要意义通过一年来的研究，项目组成员在天元基金的资助下已经发表和录用论文共四篇，分别发表在《Composite Structures》（IF=2.24），《Composites: Part B》(IF=1.731)，《Journal of Engineering Mathematics》 (IF=0.856)，华南师范大学学报自然科学版，其中三篇是SCI，一篇是国内核心。