高阶和脉冲微分方程边值问题中的变分方法

运用变分法中的极值定理，山路定理，鞍点定理，对偶原理，Morse理论，对称性理论，对非线性微分系统的边值问题，首先对至今研究甚少的Sturm-Liouville边值问题（包括Neumann边值问题和混合边值问题以及带p-Laplace算子的常微分方程边值问题）在建立弱导数的基本定理并确定所讨论方程弱解定义合理性的基础上，将临界点理论和结合拓扑度理论结合，给出有解性和多解性的结果；之后在对L可积函数空间选取合适的的完备特征函数系的基础上，根据特征函数系的性质研究高阶微分系统边值问题的有解性和解的范围；在对二阶微分系统研究逐段连续函数空间上两点边值问题特征函数系色基础上，得出一般线性脉冲条件下脉冲常微分系统边值问题解的存在性判据。本课题旨在由建立变分法应用于常微分方程边值问题中的基本引理入手，再从应用的角度拓广变分法理论中的相应定理，作出具有创新性的成果。

常微分方程边值问题的研究既有实际的应用背景，又有重要的理论意义。本课题在依据拓扑度理论和上下解方法研究常微分方程边值问题的基础上，重点在于运用变分方法和临界点理论探讨常微分系统和脉冲微分系统（包括高阶微分方程和高阶脉冲微分方程）的有解性和有多解性，并在研究方法上有所创新。研究工作的主要进展有：. 利用矩阵特征值对Banach空间作子空间分解及山路引理，得到了微分系统混合边值问题有解条件；通过引进新变量和辛矩阵将n-维系统化为2n-维系统，获得Hamilton系统两点边值问题的有解性结果；通过函数与允许函数空间的区分，解决了Hamilton系统多点边值问题构建变分结构的困难；在传统的Banach空间中，通过合理选取闭子空间作为运用变分法的函数空间，得出了多解性条件。同时，也运用拓扑度方法对各类边值问题的有解性作了深入探讨，得出相应结果。. 在三年中，发表了29篇研究论文，其中有21篇发表于SCI收录的国际学术期刊，8篇发表于国内核心期刊。在此期间邀请国外专家访问讲学，通过讨论交流对京内若干高校青年教师提高学术水平有所助益。