一类生物传感滤波器优化模型中大规模特征值问题数值解研究

The crux for devising the filter of surface acoustic wave is to find the center frequency, which could be solved by computing an eigenvalue problem from the optimized model in biosensor areas. However, the traditional method is not able to guarantee the equal distribution of the eigenvalues lying in the complex plane. Thus the design of efficient numerical algorithms to solve such eigenvalue problems is both of theoretical and practical significance.. This proposal focuses on the numerical solution of the generalized eigenvalue problems and the quadratic eigenvalue problems arising from the computation of the center frequency of the surface acoustic wave. The main research contents are comprised of the following topics: construction of the structure-preserving tripling solvent method via the sparse and low rank structure of coefficient matrices; design of the effective coordinate updation power method under the constructed active set via optimization; development of the technique for expanding the linear subspace distance between the dominant and the secondary eigenvalue as to improve the existing solvent method and the direct method. The expected theoretical and algorithmic results are not only helpful to the improvement of the numerical method of the acoustic wave eigenvalue problem, but also to the development of other related scientific subjects.

生物传感器中表面声波滤波器设计的一个关键环节是需要求其中心频率，在离散化对应的优化模型后，这一问题可以转化为一个特征值问题来求解。然而传统的求特征值的方法并不能保证计算出的特征值在复平面单位圆内外成对均等的分布，所以如何设计高效的数值算法对这一特征值问题的解决具有重要意义。. 本项目将对表面声波中心频率转化成的广义特征值问题和二次特征值问题数值方法解进行深入研究。研究内容包括：利用系数矩阵的稀疏加低秩结构设计保结构高倍的解元方法；利用优化思想构造坐标更新的积极集，从而建立新的坐标更新幂迭代法；在表面声波滤波设备压电基板和金属粘度很小的情况下，设计扩大主、次特征值之间线性子空间距离的数值方法以改进现有的解元方法和直接方法。预期获得的理论和算法成果不但有助于表面声波滤波器设计中这一特征值问题数值方法的完善，还将对其他相关交叉学科的发展起到推动作用。

生物传感器中表面声波滤波器设计的的优化模型中涉及到一类大规模特征值问题。然而传统的求特征值的方法并不能保证计算出的特征值在复平面单位圆内外成对均等的分布，所以设计高效的数值算法对解决此类特征值问题具有重要意义。. 本项目主要考虑通过求相应的非线性矩阵方程的解来计算对应的特征值问题。主要研究内容包括：将压电基板单个区域推广到多个区域进行离散化得到的大规模耦合非线性方程，设计了解耦的保结构的三倍算法求解，从而获得极端解对应的特征值；对不同压电基板材料耦合得到的非线性特征值问题，通过利用不动点迭代来求解一个带分数阶逆的耦合非线性方程，以此获得极端解对应的特征值；对滤波器电路设计中出现的一类动态控制系统二次双线性矩阵方程，通过结构将其Kronecker积进行转化，得到对应的带有Hadamard积二次双线性矩阵方程，设计了Newton-ADI迭代方法来计算出所需的最小正定解，从而求解对应的特征值问题。. 在上述研究中所取得的重要成果包括：对多区域压电基板离散化得到的耦合大规模非线性方程，提出了解耦低秩三倍算法求解此非线性方程的稳定解对，与现有的低秩加倍算法相比，三倍算法能够以可忽略的迭代时间成本为代价更较少迭代次数中获得更低的方程残量；对不同压电基板材料进行耦合得到的非线性特征值问题，设计了三种带动态参数的不动点迭代方法。与原来的无逆迭代方法相比，新提出的动态参数迭代方法能够以更少的时间和更少的迭代次数获得预设的方程残量精度； 对滤波器电路设计中一类动态控制系统中的大规模二次双线性矩阵方程，利用矩阵结构将原有的Kronecker积转化为Hadamard积，设计了Newton-ADI迭代方法比原有的不动点迭代更快的计算出更高精度的最小正定解。. 上述获得的理论和算法成果不但有助于表面声波滤波器设计中这一特征值问题数值方法的完善，还将对其他相关交叉学科的发展起到推动作用。