拓扑动力系统中的多重传递及其相关问题

This project is devoted to research multi-transitivity in topological dynamcail system, in other wrods, we focus on the transitivity of the product map induced by some iterations of a continuous map from compact metric space onto itself. Base on the result we obtained that give an equivalent statement of multi-transitivity via hitting time set of two open subsets in state space, we will explore other characterizations of multi-transitivity of dynamical system via its complexity functions along sequences or weak disjointness, reveal the implications concerning transitivity among a family of product systems, and establish the connections between multi-transitivity and other dynamical properties, such as chaos in some sense. We hope the research should help to refine classification of transitive systems and can be applied to some science fields, such as combinatorial number theory.

本项目主要研究拓扑动力系统中的多重传递性, 即研究由定义在紧致度量空间上的连续自映射的某些迭代的乘积映射的传递性及其相关问题. 我们已经借助于开集碰撞时间集和点的族传递的概念对多重传递性给出了等价刻画, 藉此,我们将探索从沿某序列的复杂性函数和弱不交性等其它角度给出多重传递属性进一步刻画, 揭示一个映射的某些迭代诱导的若干个乘积系统在传递性质方面的内在关联, 并且讨论多重传递属性与混沌等其它动力学性质的关系, 以期获得在传递系统的分类方面的相关结果, 并给出多重传递属性在组合数论等其它学科的应用.

我们主要关注拓扑动力系统的多重传递属性与其它动力学性质之间的内在关联。由于传递性明显是一个整体性质，而许多刻画动力系统复杂性的概念是局部性质，诸如Li-Yorke混沌、分布混沌以及拓扑熵，因此我们需要从的传递属性的局部化入手。我们引入了delta-弱混合集的概念，证明了一个子集是delta-弱混合集的充要条件是该集合中存在一个由稠密的 Mycielski 集构成的熊混沌集，并且该 Mycielski 集可以表示为一个单调递增的 Cantor 集序列的并集，而这个序列中的每一个Cantor 集仍为熊混沌集。. 系统中开集间的碰撞时间集的密度也是动力系统研究的一个重要方面。我们证明了：对于正熵系统而言，存在正上 Banach 密度碰撞的混合集；由这种正上 Banach 密度的混合集所构成的子集形成了在超空间中由熵集构成的子空间中的一个剩余集；而对于非 PI 的极小系统而言，一定存在逐段 Syndetic 混合集。. 为了深入理解 Furstenberg 的经典的回复定理，我们引入van der Waerden 系统的概念，并得出了此类系统的相关性质。证明了一个系统是 van der Waerden 系统当且仅当该系统的每一传递点进入任何一个非空开集的时间集含有任意有限长的算术级数（称这种点是一个AP-传递点）；一个点是 AP-传递点当且仅当该点的轨道闭包系统形成一个van der Waerden 系统；当一个动力系统存在弱混合且具有满支撑的不变测度时, 对角线上的几乎所有点都是多重传递点，并且这种多重传递点都是 AP-传递点。 ..我们建立了 Kuratowski-Mycielski 定理的动力学版本， 给出了一个动力系统中有不变相关集的六个等价刻画，借助这些刻画可以使得不变一致混沌集、不变一致平均混沌集、不变delta-攀援集以及不变delta-分布混沌集等不变子系统的存在性的证明得以大为简化。..我们也讨论的传递属性及拓扑熵在控制论中的某些应用。