向量平衡问题以及像空间分析方法

Image space analysis method provides a unified research framework for some theory of the non convex, nonsmoth and non continuous optimization problems and variational inequalities. In this propose, we intend to use the image space analysis method for investigating the error bounds, optimality conditions and dualities of vector equilibrium problems and related problems under fixed and variable ordering relations, respectively. Under the case that we can not use the important techniques of projection operator for analyzing infinite dimensional vector equilibrium problems, we need to explore and discover some new ideas, new methods and new techniques for studying the error bounds of vector equilibrium problems and vector variational inequality problems. Through the discussions of nonlinear separation functions, we investigate properties of solutions of vector equilibrium problems and (Minty) vector vatiational inequality problems, and then get its optimality conditions. In partial ordered vector spaces, we investigate vector nonlinear separation function, obtain the vector generalized Lagrangian functions, and then lead to the various dual problems of vector optimization problems. We also study the necessary and sufficient conditions of the zero duality gap between the vector optimization problem and its dual problem, and unified duality properties. Then, we investigate the relationship between the equilibrium principle of vector traffic network system model with upper and lower capacity and a vector variational inequality problem. By choosing properly the the generalized Lagrangian fuction, we design efficient algorithms for solving muitiobjective transportation network equilibrium problems.

像空间分析方法为非凸、非光滑和非连续优化问题和变分不等式的一些理论提供了统一的研究框架。本项目拟借助像空间分析方法，在固定和变动偏序结构下，研究向量平衡问题以及相关问题的误差界、最优性条件和对偶。在没办法用投影算子这个重要手段来分析无限维向量平衡问题的情况下，找到一些新思想、新方法和新技巧来研究向量平衡问题和向量变分不等式问题解的误差界。通过探讨非线性分离函数，研究向量平衡问题以及(Minty)向量变分不等式问题解的性质，得到解的最优性条件。在偏序向量空间中，研究向量形式的非线性分离函数以及向量形式的广义Lagrangian函数，导出向量优化问题的各种对偶。研究它们之间零对偶间隙存在的充要条件以及一致对偶性。研究带上下容量限制的向量交通网络系统模型均衡原理与向量变分不等式之间的关系,通过适当选取有利于算法设计的广义Lagrangian函数，设计出求解多指标交通网络平衡问题平衡流的有效算法。

该项目对非凸、非光滑向量平衡问题的最优性条件、稳定性、误差界、对偶理论以及鲁棒性进行了深入的研究，在最优性条件研究方面，针对非凸非光滑向量优化问题，借助一种非线性标量化函数，构造了一种特殊的非线性分离函数以及非线性Lagranian函数，建立了非凸非可微向量优化问题的Lagrangian型充分和必要最优性条件，也得到了该问题的一阶Karush-Kuhn-Tucker最优性条件。由于集值映射没有泰勒展开式，怎样合理引入导数成为研究优化问题的关键，我们通过引入了一种新的集值映射二阶复合相依上图导数，研究了它的具体性质，然后研究了集值优化问题统一的二阶必要和充分最优性条件。在稳定性方面，目前针对优化问题的集优化准则，人们主要集中在研究相应解的性质，很少有人研究解映射的稳定性。我们通过引入一种u-下水平映射，研究了这种下水平映射的上、下半连续性。然后研究了参数集值优化问题解映射的连续性。在对偶问题方面，我们建立了带有Topical结构的约束优化的共轭对偶。首先，给出了一般约束优化的对偶问题，讨论了基于抽象凸性理论的弱对偶性和强对偶性。然后，通过转化零对偶间隙性质为像空间中两个集的分离，利用图像空间分析方法以及分离函数，得到了带有Topical结构的约束优化的对偶框架。在间隙函数与误差界方面，我们通过像空间分析，研究了具有锥约束的弱广义Ky Fan不等式。首先，利用广义拉格朗日函数的鞍点刻画了锥约束弱广义Ky Fan不等式的分离。然后，利用正则弱分离函数构造了锥约束弱广义Ky Fan不等式的间隙函数和正则间隙函数，并利用这些间隙函数建立了其误差界。在不确定优化问题的鲁棒性方面，我们利用像空间分析方法，研究了严格鲁棒对应条件下的一般标量鲁棒优化问题，其中目标包含不确定性，约束也包含不确定性。此外，利用一种新的校正图像的强度，建立了不确定优化问题与其像问题的等价关系，为解决极小极大问题提供了思路。此外，在线性和非线性（正则）弱分离函数的框架下，得到了鲁棒弱选择定理和鲁棒最优性条件的充分刻画。此外，还得到了标量鲁棒优化问题的几个充要最优性条件，特别是鞍点充要最优性条件。