不光滑及耗散系统的多辛几何算法

As we have known, most of the published works on multisymplectic geometric algorithms (MSGAs) are limited to smooth and energy-preserving evolution partial differential equations (PDEs). Our goal is to study MSGAs in depth and more extensively and generalize their applications in physics. We will, then, turn to some nonsmooth or dissipative evolution systems. Firstly, we will focus on some evolution PDEs with various δ-singularities. Based on the theory of the weak multisymplectic Hamiltonian reformulation as we proposed, we will construct the MSGAs via using Runge-Kutta, finite difference, spectral or pseudo-spectral, collocation, Veselov-type variational discretizations and so on, then implement some numerical experiments and address some relevant theoretical error analyses on convergence, stability and discrete physical laws as well. Secondly, we will focus on some nonsmooth solutions such as gradient catastrophe solutions to hyperbolic systems of conservation laws. We then demonstrate appropriate multisymplectic geometric discretizations for these hyperbolic systems with appropriate perturbations, simulate numerically the evolution of the gradient catastrophe solutions, study and analyze their long-time dynamical behaviors under the corresponding perturbations. Thirdly, we will study dissipative MSGAs applied to some energy-dissipation systems. We want to learn how MSGAs work with applications to systems with different dissipation mechanisms. Last but not the least, we hope to extend modulated Fourier expansion methods to multisymplectic Hamiltonian systems, and give some long-time conservation analyses for some suitable MSGAS.

目前已有的多辛几何算法方面的研究工作，大多集中在光滑且守恒型偏微分系统。本项目致力于多辛几何算法在非光滑及耗散系统中的推广和应用。主要研究内容如下：一是针对一些不光滑系统如带δ奇异性的发展偏微分方程，基于我们提出的弱多辛哈密尔顿正则形式描述，通过龙格-库塔、有限差分、谱与拟谱、配置、Veselov型变分积分等离散方式，开展其弱多辛几何算法的构造、计算模拟、对物理特性的保持以及相关的收敛性、稳定性等误差分析工作；二是针对双曲守恒律的一些不光滑解如梯度灾难解等，研究它们的多辛哈密尔顿微扰演化，通过构造合适的多辛几何算法，模拟、分析这些不光滑解的长时间物理演化和动力学行为；三是针对一些耗散系统，通过构造耗散型的多辛几何算法，分析和探讨多辛几何算法在耗散系统中的应用；四是希望将调制傅里叶展开等分析技术，推广到多辛哈密尔顿系统和多辛几何算法，针对一些长时间数值动力学行为，开展相关的理论分析研究。

研究按照申请书上的总体目标进行，我们将保结构算法研究持续地推进到一些重要的非光滑、耗散甚至随机系统。对于前者，我们从含Delta势非线性薛定谔方程、狄拉克方程及其耦合形式等物理模型出发，利用合适的分布函数理论将其转化为非光滑界面问题，提出了相应的能量守恒算法、加权能量守恒算法、弱多辛分段拟谱方法、含精度恢复的修正多辛Fourier 拟谱方法等，并针对这些方法的守恒性及离散变分对称性、传统数值分析框架下的收敛性及稳定性、数值模拟以及长时间稳定性机理展开了研究，并将其中的一些算法应用于强激光场中分子高次谐波发射的研究，取得了一系列研究成果。在耗散系统方面，我们针对增加耗散项的含Delta势物理模型，提出弱(拟)共形多辛方法、弱能量耗散型算法，针对带特殊耗散项的麦克斯韦方程，构造了2类保能量守恒律/耗散律分裂格式、4类高阶显辛格式等高效的数值格式，并给出一些理论分析与数值研究。另外，我们将研究拓展到无穷维随机哈密顿系统，建立了通过随机生成泛函理论构造随机辛格式的系统方法。