序链多面体的组合性质研究

Since the mid-20th century, combinatorics on convex polytopes, a cross-cutting research direction, has attracted considerable attentions of many famous mathematicians. It not only combines effectively two frontiers, combinatorics and geometry, but also provides dramatic impetus to the development of algebraic geometry, algebraic topology, commutative algebra and number theory..This project will be concerned with an important class of polytopes, called order-chain polytopes, which are associated with partially ordered sets. This generalizes and unifies order polytopes and chain polytopes, two important classes of polytopes defined in 1986 by Richard P. Stanley, a member of the US National Academy of Sciences. We will focus mainly on the integrality, volume, Ehrhart function of an order-chain polytope, and the unimodular equivalence of order-chain polytopes and order polytopes or chain polytopes. .The results of this project will enrich greatly the combinatorial theory of convex polytopes, and further promote the confluence of combinatorics with other branches of mathematics, like algebra, geometry, topology and number theory.

20世纪中叶以来，凸多面体上的组合学这一交叉性研究方向引起很多著名数学家的广泛关注。它不仅将组合数学与几何学这两个前沿领域有效结合起来，而且为代数几何、代数拓扑、交换代数、数论等重要数学领域提供了巨大的发展动力。. 本项目主要研究与偏序集相关的一类重要多面体——序链多面体。该多面体推广并统一了美国科学院院士Richard P.Stanley 1986年定义的两类重要多面体——序多面体与链多面体。我们将着重研究序链多面体的整性、体积、Ehrhart函数，以及序链多面体与序多面体或链多面体之间的幺模等价问题。. 本项目的研究成果将极大地丰富凸多面体组合理论，并进一步推动组合数学研究与代数、几何、拓扑、数论等数学分支的融合，具有重要的理论价值。

本项目主要研究了一类与偏序集相关的多面体上的组合学。 由于这类多面体推广并统一了美国科学院院士Richard P. Stanley 1986年定义的两类重要多面体——序多面体与链多面体，我们称之为序链多面体。 我们着重研究了序链多面体的整性、体积以及序链多面体与序多面体或链多面体之间的幺模等价问题。具体而言，我们证明了以下重要结果：.(1) 一个有限偏序集的任一个边集二部划分对应的序链多面体都是整多面体的充分必要条件是它的Hasse图是一个无圈图。.(2) 对任意满足条件|E(P)|≥2的有限偏序集P，总存在一个非平凡的边集二部划分，使得它对应的序链多面体是整多面体。.(3) 序链多面体这一概念作为新引入的一类0-1多面体具有非平凡性，即对任意正整数d≥6，一定存在不幺模等价于任何一个序多面体或链多面体的d维整序链多面体。.(4) 存在一个不幺模等价于任何一个链多面体的5维序多面体。.(5) 当P是一个全序集时，对P的边进行交替划分得到的序链多面体体积最大。.以上成果已整理成科研论文《Order-Chain Polytopes》在国际期刊《Ars Mathematica Contemporanea》上发表。.此外，在本项目的支持下，我们还研究了凸多面体组合学理论中的其他相关问题。具体而言，在研究多面体的Ehrhart函数方面，我们构造了很大一类具有拟周期瓦解性质（即它们的Ehrhart函数的拟周期比分母小）的有理多面体及无理多面体. 我们证明了整多面体 Ehrhart 理论中的一些经典结果（如Ehrhart 级数的倒易律、单调性、非负性）仍然适用于这类多面体上。相关成果已整理成科研论文《Irrational Triangles with Polynomial Ehrhart Functions》在国际期刊《Discrete& Computational Geometry》上发表。.