几类微分系统定性理论中若干问题的研究

本项目主要研究几类非线性微分系统的一些动力学性态，主要内容有：在脉冲扰动下的定性行为。主要研究哈密顿系统在脉冲扰动下的有效稳定性问题（Nekhoroshev估计）；将KAM理论有效地拓广到脉冲动力系统，并研究哈密顿系统在脉冲扰动下拟周期运动的变化情况与摄动问题。推进Poincare-Birkhoff扭转映射不动点定理和方法在脉冲Duffing方程周期解问题的研究工作，揭示脉冲扰动的本质特点和产生新的定性行为的脉冲扰动机制。另一研究内容针对反转和等变化系统中奇数维或偶数维异宿分支在小扰动下，尤其是在退化条件、非通有条件下的动力学行为，采用在奇点或周期轨道小领域内建立适当的局部坐标架，根据Poincare映射得到后继函数及分支方程的主要思路。本项目力求在上述方面取得令国内外同行关注的具有突破性和原创性的研究成果。

本项目主要研究几类非线性微分系统的一些动力学性态，主要内容有：在脉冲扰动下的定性行为。主要研究哈密顿系统在脉冲扰动下的有效稳定性问题（Nekhoroshev 估计）；将 KAM 理论有效地拓广到脉冲动力系统，并研究哈密顿系统在脉冲扰动下拟周期运动的变化情况与摄动问题。推进 Poincare-Birkhoff 扭转映射不动点定理和方法在脉冲 Duffing 方程周期解问题的研究工作，揭示脉 冲扰动的本质特点和产生新的定性行为的脉冲扰动机制。另一研究内容针对反转和等变化系统中奇数 维或偶数维异宿分支在小扰动下，尤其是在退化条件、非通有条件下的动力学行为，采用在奇点或周期轨道小领域内建立适当的局部坐标架，根据 Poincare 映射得到后继函数及分支方程的主要思路。.项目针对在共振情况下一类脉冲Duffing方程建立了扭转映射的性质，并获得了存在无穷多周期解的条件，为进一步研究扭转映射不动点定理在不连续系统中的应用给出了有意 义的研究成果，开辟了研究二维不连续动力系统周期解问题的新途径。这类问题的研究由于具有较强的几何性，多年来对不连续系统几何性质的研究一直进展不大。对一类具常数脉冲扰动的非线性微分系统解的渐近性质进行了研究，此类脉冲扰动在实际问题中具有重要意义，看似简单但处理起来包含着该问题的本质困难，以前研究类似的问题一般都避开处理这种脉冲扰动。我们通过巧妙地引入一个新的（同时也是自然 的）分段连续的辅助函数成功完成了证明目标。这一想法有望得到跟踪研究。研究了一类时滞项有数的扰动非线性脉冲时滞微分系统，通过LMIs方法得 到了系统全局渐近稳定的结果，LMIs方法也能通过有效算法得以实现。对一个较一般的系统获得了存在周期轨道及具双同宿循环复杂动力学性质的条件， 确定了存在性区域。对一类p-Laplacian Schrodinger 系统得到了存在“大"解的充分必要条件，更好地刻画了这类系统解的性质。研究了一类具有三个神经元的不连续时滞区间神经网络系统的平稳振荡，通过使用LMI方法得到了系统存在全局稳定周期解的充分条件，改进了针对一个神经元情形下所通常使用的方法，推广了作者2010年发表在IEEE Trans.on Neural Networks 的结果，数值模拟显示了所得结果的意义。