带有奇性或退化的椭圆及抛物方程的若干前沿问题的研究

本项目旨在对一类有着实际背景的带有奇性或退化的椭圆型、抛物型方程的解的结构和性质进行更进一步的探讨。其中包括以微电子机械系统（MEMS）为背景的一类带有奇异非线性项的半线性及含有双调和算子的椭圆和抛物问题的解的结构和性质；以牛顿流体力学、多孔介质中渗流问题、人口问题等为背景的一类带有参数的半线性和拟线性（退化）的椭圆及抛物型方程（组）的广义及自由边界问题的解的结构及性质。这些问题有其各自不同的特点，但从数学理论上看也有着很多本质的联系。我们将详细刻画这些问题的解的奇点集合的结构与性质、解的确切重数、对称性区域上方程的解的对称性、解的分枝的确切形状、解的分枝对参数的依赖关系、解的分枝关于参数的渐近行为及抛物问题的解的传播与消亡等。这些问题的研究不仅对实际问题的解决提供确切的理论保证， 同时对数学理论自身的丰富和发展也很有意义。

本项目研究了一类具有实际应用背景的椭圆方程的解的结构和性质。其中包括一类带权及具有超临界增长的Henon方程、以微电子机械装置（MEMS)为背景的一类含有双调和算子及超临界增长的椭圆方程、以人口问题为背景的一类带有参数的半线性抛物型方程的自由边界问题等。我们给出了一类Henon方程整体解的完整分类并得到.有限Morse指标解不存在性的Liouville定理；找到了一类四阶椭圆方程的整体解为球对称解的充分必要条件；刻画了一类自由边界问题解的消亡和无限扩散。完成并发表论文29篇。