生成元是非Lipschitz条件下的随机递归最优控制理论及其相关的金融应用

The project is concerned with the stochastic recursive control theory with non-Lipschitz aggregator and its application in finance. This project is made up of three main parts..Part 1 studies the stochastic differential games when the aggregator in backward stochastic differential equation (BSDE) is monotonic with the unknown variable. We establish a verification theorem, which formulate the Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI) equation under a non-Lipschitz condition. Then with the verification theorem, the explicit closed-form optimal consumption and portfolio solutions for a robust investor are given. Also we compare our robust solutions with the non-robust ones, and the comparisons will be shown in a few figures..Part 2 studies the stochastic recursive control theory when the aggregator in BSDE is monotonic with the first unknown variable and is uniformly continuous with the second unknown variable. In this project, we provide the dynamic programming principle and show that the value function is the unique viscosity solution to the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation with the suitable conditions..Part 3 studies a generalized verification theorem in the stochastic recursive control problem when the aggregator contains the diffusion coefficient in BSDE and is non-Lipschitz with the unknown variable. With the generalized verification theorem, we show the explicit closed-form optimal consumption and portfolio solutions for an investor with a generalized stochastic differential utility (GSDU) preference.

本项目研究生成元为非Lipschitz条件下的随机递归最优控制问题及其在最优消费投资组合中的应用。具体分为以下三个部分：第一部分研究生成元关于未知变量满足单调性条件下的随机微分对策理论，建立相应的验证定理，并将之运用到稳健投资者的最优投资消费问题中，给出其最优策略，并比较普通投资者和稳健投资者的行为差异。第二部分研究生成元关于第一个未知变量单调，关于第二个未知变量一致连续条件下的随机递归最优控制问题的动态规划原理及证明值函数是HJB方程唯一的粘性解。第三部分研究生成元含有扩散项系数，且关于变量是非Lipschitz条件下的验证定理，并将之运用到具有扩展的随机微分效用的投资者最优消费投资组合中，给出其显示解和合理的经济解释。

本项目主要研究随机最优控制问题及其在金融中的应用。具体分为以下四个部分：.第一部分，我们考虑的是在非Lipschitz框架下的随机递归最优控制理论。准确地说，用来描述代价泛函的随机倒向微分方程的生成元关于第一个变量单调，关于第二个变量一致连续。在Girsanov变换和BSDE方法下，我们建立了相应的动态规划原理。用截断函数，逼近和粘性解的稳定性等技巧，我们证明了值函数是HJB方程唯一的粘性解。..第二部分，我们考虑的是连续时间，一个具有Epstein-Zin的随机微分效用的稳健的投资者的最优消费投资问题。这个投资者，他担心模型的不确定性，从而选择稳健的投资策略。我们证明了在非Lipschitz条件下的关于随机微分对策的验证定理，即如果HJBI方程的经典解存在，则方程的解是值函数，同时我们给出了最优控制和值函数的表达式。在验证定理帮助下，我们给出了当股票市场是Heston模型，投资者具有Epstein-Zin效用下稳健的最优消费财富比及最优投资组合，和值函数的表达式，并且我们比较了稳健的投资者和普通的投资者的行为，发现普通的投资者会比稳健的投资者有更多的消费和投资股票市场，这和我们的常识也是吻合的。..第三部分，我们考虑的是关于推广的随机微分效用下的投资者的连续时间最优消费投资问题。我们首先给出了在比一般单调性更弱的非Lipschitz条件下推广的验证定理，证明了如果HJB方程的经典解存在，则方程的解是随机递归最优控制问题的值函数。由于推广的随机微分效用中含有扩散项系数，所以此验证定理与以往的经典的验证定理证明不同。在推广的验证定理下，假设股票市场是Heston模型，我们分别给出了两类推广的随机微分效用下的最优消费投资问题的显示解和数值解。..第四部分，我们考虑的是随机系数，无限时间区间，控制受约束的随机LQ最优控制问题。我们给出两个无限时间区间的倒向Riccati方程，构造出这两个Riccati方程的解， 用Riccati方程的解给出LQ问题的最优控制和值函数的表达式。最后，我们介绍了保险公司求最优缴费的DB问题，作为此类LQ问题的应用。