随机递归最优控制及其在金融中的应用研究

The project is concerned with optimal stochastic recursive optimal control theory and its applications in finance..Part 1 studies a generalized verification theorem, which formulate the Hamilton-Jacobi-Bellman equation that contained the diffusion under a weaker non-Lipschitz condition than what Kraft et al. (2013) considered. As applications, we consider a continuous time intertemporal consumption and portfolio choice problem with a generalized stochastic differential utility (GSDU) preference for an investor. With the generalized verification theorem, we shall show the explicit closed-form optimal consumption and portfolio solutions..Part 2 is concerned with dynamic programming principle and viscosity solutions of the stochastic recursive optimal control problem. When the aggregator is monotonic in the variable, we give the corresponding dynamic programming principle and show that the value function is the viscosity solution to the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation with suitable conditions. .The content of this project not only comes from the hot topics in the theory of backward stochastic partial differential equations (BSPDE) and stochastic control problems, but also involves more and more finance applications.

本项目主要研究随机递归最优控制理论及其在金融中的应用研究。主要内容分为以下两个部分：第一部分研究随机递归控制问题中推广的验证定理，其特点是生成元中含有扩散项系数，并且生成元关于变量满足单调性条件，同时我们将推广的验证定理运用到具有推广的随机微分效用偏好的投资者的最优投资-消费问题中，给出最优策略的显示解和合理的经济意义。第二部分研究随机递归最优控制系统中生成元关于变量满足单调性条件下的动态规划原理及相应的粘性解理论。本项目的研究内容直接来源于倒向随机偏微分方程和随机控制中富有挑战性的热点问题，具有重要的理论和金融应用意义。

随机递归最优控制理论是经典随机最优控制理论的推广。在经典随机最优控制问题中，指标泛函由一个泛函显示表示，而在随机递归最优控制问题中，指标泛函是由一个倒向随机微分方程（backward stochastic differential equation, BSDE）的解在0时刻的值给出，并不一定能显示表示。. 随机最优控制理论在金融领域中应用的一个经典问题是最优投资-消费问题，即投资者如何构造风险证券和无风险证券的投资组合以及消费策略，使得自己的期望效用最大化。因为随机递归最优控制问题包含了经典的随机最优控制问题，所以在实际应用中，它所能刻画的模型就更加广泛。. 本项目主要研究随机递归最优控制理论及其在金融中的应用研究。在项目经费的支持下，我们基本完成了项目申请书中有关随机递归最优控制理论中动态规划，验证定理及其在最优消费投资组合中的应用。主要包含两个方面：第一，建立了随机递归最优控制系统中生成元关于变量仅仅满足单调性条件下的动态规划原理，证明了值函数是相应HJB方程的粘性解；第二，证明了随机递归控制问题中推广的验证定理，其特点是生成元中含有扩散项系数，并且生成元关于变量满足单调性条件，同时我们将推广的验证定理运用到两类具有推广的随机微分效用偏好的投资者的最优投资-消费问题中，分别给出了最优策略的显示解和数值解及合理的经济解释。